Математический анализ Примеры

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{y}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x} = 5 - \sqrt{y}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = {(5 - \sqrt{y})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 - \sqrt{y})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - \sqrt{y})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - \sqrt{y})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(5 - \sqrt{y})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x = {(5 - \sqrt{y})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(5 - \sqrt{y})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(5 - \sqrt{y})}^{2}$ в виде $(5 - \sqrt{y}) (5 - \sqrt{y})$ .

$x = (5 - \sqrt{y}) (5 - \sqrt{y})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(5 - \sqrt{y}) (5 - \sqrt{y})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 5 (5 - \sqrt{y}) - \sqrt{y} (5 - \sqrt{y})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{y}) - \sqrt{y} (5 - \sqrt{y})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{y}) - \sqrt{y} \cdot 5 - \sqrt{y} (- \sqrt{y})$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$x = 25 + 5 (- \sqrt{y}) - \sqrt{y} \cdot 5 - \sqrt{y} (- \sqrt{y})$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - \sqrt{y} \cdot 5 - \sqrt{y} (- \sqrt{y})$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} - \sqrt{y} (- \sqrt{y})$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- \sqrt{y} (- \sqrt{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} + 1 \sqrt{y} \sqrt{y}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{y}$ на $1$ .

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} + \sqrt{y} \sqrt{y}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} + {\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} + {\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} + {\sqrt{y}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} + {\sqrt{y}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{y}}^{2}$ в виде $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} + {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} + y^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} + y^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} + y^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} + y^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$x = 25 - 5 \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} + y$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $5 \sqrt{y}$ из $- 5 \sqrt{y}$ .

$x = 25 - 10 \sqrt{y} + y$

Этап 4

Чтобы привести выражение к виду функции от переменной $y$ , перепишем уравнение, поместив $x$ с одной стороны от знака равенства, а выражение, которое зависит только от $y$ , с другой стороны.

$f (y) = 25 - 10 \sqrt{y} + y$