Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x - x^{7}}{3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x - x^{7}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Изменим порядок $2 x$ и $- x^{7}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{7} + 2 x}{lim_{x \to \infty} 3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Этап 1.2.2

Для многочлена, старший коэффициент которого отрицателен, предел в бесконечности равен минус бесконечности.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Этап 1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x - x^{7}}{3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $2 x - x^{7}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{7}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{7}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{d}{d x} [x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - (7 x^{6})}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Этап 3.4.3

Умножим $7$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - 7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{7}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 3.7.3

Умножим $7$ на $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 3.8.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 3.9.3

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 3.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 + 0}$

Этап 3.11

Добавим $21 x^{6} - 6 x^{2} + 4$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4}$

Этап 4

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 7 x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 7 x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 5.1.2

Разделим $- 7$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $21$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 6 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{2} x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{2} x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{- 6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 7 + \frac{2}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 5.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 5.5

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 7 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 5.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 7 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{6}}$ стремится к $0$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 21 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 7.2

Найдем предел $21$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 7.3

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 8

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{4}}$ стремится к $0$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Этап 9

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}$

Этап 10

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{- 7 + 0}{21 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Этап 11.1.2

Добавим $- 7$ и $0$ .

$\frac{- 7}{21 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 6$ на $0$ .

$\frac{- 7}{21 + 0 + 4 \cdot 0}$

Этап 11.2.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{- 7}{21 + 0 + 0}$

Этап 11.2.3

Добавим $21 + 0$ и $0$ .

$\frac{- 7}{21 + 0}$

Этап 11.2.4

Добавим $21$ и $0$ .

$\frac{- 7}{21}$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $- 7$ и $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$\frac{7 (- 1)}{21}$

Этап 11.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вынесем множитель $7$ из $21$ .

$\frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 3}$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 3}$

Этап 11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{3}$

Этап 11.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3}$