Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x^{2} - 16}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 4} \ln (\frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 4} \frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{4} lim_{x \to 4} x)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.2.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{0}{4^{2} - 1 \cdot 16}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x^{2} - 16} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 3.4

Умножим $\frac{4}{x}$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 3.5

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 3.6

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{4}{x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 3.7.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 3.9

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 3.10

По правилу суммы производная $x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 3.12

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + 0}$

Этап 3.13

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Этап 5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x (2 x)}$

Этап 5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 (x^{1} x)}$

Этап 5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 (x^{1} x^{1})}$

Этап 5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Этап 5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{2}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 4} \frac{1}{x^{2}}$

Этап 6.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x^{2}}$

Этап 6.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} x^{2}}$

Этап 6.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}$

Этап 7

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4^{2}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 4^{2}}$

Этап 8.2

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4^{2}}$

Этап 8.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{2}}$

Этап 8.3.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2}}$

Этап 8.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{4}}$

Этап 8.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2^{1 + 4}}$

Этап 8.3.4

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{1}{2^{5}}$

Этап 8.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{1}{32}$