Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Этап 1

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Этап 2

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел $\frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cot (0)}{\ln (0)}$

Этап 2.2

Выразим $\cot (0)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}{\ln (0)}$

Этап 2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$

Этап 2.4

Так как выражение $\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 3

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Этап 4

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Этап 4.1.1.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, функция неограниченно возрастает.

$\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Этап 4.1.1.3

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln (x)$ неограниченно убывает.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 4.1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 4.1.2

Поскольку $\frac{\infty}{- \infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 4.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 4.1.3.2

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 4.1.3.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{1}{x}}$

Этап 4.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc^{2} (x) x$

Этап 4.2

Перепишем $- \csc^{2} (x) x$ в виде $\frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$

Этап 4.3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} - x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 4.3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 4.3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Этап 4.3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Этап 4.3.1.3.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ стремится к $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 4.3.1.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.3.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.3.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Этап 4.3.3.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Этап 4.3.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Этап 4.3.3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Этап 4.3.3.6

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Этап 4.3.3.7

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Этап 4.3.3.8

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Этап 4.3.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Этап 4.3.3.10

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Этап 4.3.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.11.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Этап 4.3.3.11.2

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Этап 4.3.3.11.3

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 4.3.3.11.4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.11.4.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 4.3.3.11.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 4.3.3.11.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Этап 4.3.3.11.5

Применим формулу двойного угла для синуса.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (2 x)}$

Этап 4.3.4

Разделим дроби.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Этап 4.3.5

Переведем $\frac{1}{\sin (2 x)}$ в $\csc (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \csc (2 x)$

Этап 4.3.6

Разделим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc (2 x)$

Этап 4.4

Поскольку функция $\csc (2 x)$ стремится к $\infty$ , произведение отрицательной константы $- 1$ и функции стремится к $- \infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (2 x)$

Этап 4.4.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, функция неограниченно возрастает.

$\infty$

Этап 4.4.3

$- \infty$

Этап 5

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$