Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{3^{x}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 3^{x}}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3^{x}}$

Этап 1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $3^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{3^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3^{x}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3^{x}]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [3^{x}]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{3^{x} \ln (3)}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{\ln (3)}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{3^{x}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{3^{x}}$ стремится к $0$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot 0$

Этап 6

Умножим $\frac{1}{\ln (3)}$ на $0$ .

$0$