Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Этап 1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Этап 1.3.1.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{2 \ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Этап 1.3.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{0}{2 \ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \ln (\sec (0))}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{2 \ln (1)}$

Этап 1.3.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (\sec (x))$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Этап 3.4.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Этап 3.5

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Этап 3.6

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Этап 3.7

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Этап 3.8

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.9

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Этап 3.10

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Добавим круглые скобки.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \sec (x)) \tan (x)}$

Этап 3.11.1.2

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\sec (x) \cos (x)) \tan (x)}$

Этап 3.11.1.3

Выразим $2 \cos (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x)}$

Этап 3.11.1.4

Сократим общие множители.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 1 \tan (x)}$

Этап 3.11.2

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (x)}$

Этап 3.11.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.11.4

Объединим $2$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

Этап 5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $2$ и $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$

Этап 5.2

Объединим $x$ и $\frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Этап 7

Переведем $\frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$ в $x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} x \cot (x)$

Этап 8

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Этап 9

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Этап 10

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $1$ .

$1$

Этап 11

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Этап 12

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Этап 13

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $1$ .

$1$