Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Этап 1.2.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}$

Этап 1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (0))}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Этап 1.3.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 3.5.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 3.6

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))}$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2}) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} - 2 x \cos (x^{2}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.2

Объединим $- 2$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \cos (x^{2}) \frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.3

Объединим $\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$ и $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)} \cos (x^{2})$

Этап 5.4

Объединим $\frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)}$ и $\cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$

Этап 6

Переведем $\frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$ в $- 2 \cos (x) x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) x \cot (x)$

Этап 7

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) x \cot (x)$

Этап 8

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (x) x \cot (x)$

Этап 9

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cos (x) x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99168527 \\ - 0.01 & 0.99991666 \\ - 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

Этап 10

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $\cos (x) x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $1$ .

$1$

Этап 11

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) x \cot (x)$

Этап 12

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cos (x) x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99168527 \\ 0.01 & 0.99991666 \\ 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

Этап 13

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $\cos (x) x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 14

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$