Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \sin (x) - 1}{x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - \sin (x) - 1}{lim_{x \to 0} x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1.2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1.2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \sin (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - \sin (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - \sin (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - \sin (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1.2.6.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1 - 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1.2.6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{lim_{x \to 0} x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1.2.6.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2}}$

Этап 1.3.2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2}}$

Этап 1.3.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2}}$

Этап 1.3.4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2}}$

Этап 1.3.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.3.6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{4} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{4} + 4 \cdot 0^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 1.3.7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{4} + 4 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2}}$

Этап 1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 4 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2}}$

Этап 1.3.8.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}}$

Этап 1.3.8.1.3

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 5 \cdot 0^{2}}$

Этап 1.3.8.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 5 \cdot 0}$

Этап 1.3.8.1.5

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Этап 1.3.8.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.3.8.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.8.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \sin (x) - 1}{x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \sin (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \sin (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $e^{x} - \sin (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}]}$

Этап 3.4.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}]}$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}]}$

Этап 3.6

Добавим $e^{x} - \cos (x)$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}$

Этап 3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}$

Этап 3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}$

Этап 3.9.3

Умножим $3$ на $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}$

Этап 3.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 x^{3} + 12 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 x^{3} + 12 x^{2} + 5 (2 x)}$

Этап 3.10.3

Умножим $2$ на $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x}$

Этап 4.1.2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x}$

Этап 4.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x}$

Этап 4.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x}$

Этап 4.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x}$

Этап 4.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x}$

Этап 4.1.2.5.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x}$

Этап 4.1.2.5.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x}$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x}$

Этап 4.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 10 x}$

Этап 4.1.3.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 10 x}$

Этап 4.1.3.3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 10 x}$

Этап 4.1.3.4

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 10 x}$

Этап 4.1.3.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 10 x}$

Этап 4.1.3.6

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 10 lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 10 lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{2} + 10 lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.3.7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0}$

Этап 4.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.8.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0 + 12 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0}$

Этап 4.1.3.8.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 12 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0}$

Этап 4.1.3.8.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 12 \cdot 0 + 10 \cdot 0}$

Этап 4.1.3.8.1.4

Умножим $12$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 10 \cdot 0}$

Этап 4.1.3.8.1.5

Умножим $10$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Этап 4.1.3.8.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 4.1.3.8.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.8.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x]}$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $e^{x} - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x]}$

Этап 4.3.3

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x]}$

Этап 4.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x]}$

Этап 4.3.4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x]}$

Этап 4.3.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x]}$

Этап 4.3.4.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x]}$

Этап 4.3.5

По правилу суммы производная $4 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}$

Этап 4.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}$

Этап 4.3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}$

Этап 4.3.6.3

Умножим $3$ на $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}$

Этап 4.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}$

Этап 4.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{12 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x]}$

Этап 4.3.7.3

Умножим $2$ на $12$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{12 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [10 x]}$

Этап 4.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{12 x^{2} + 24 x + 10 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{12 x^{2} + 24 x + 10 \cdot 1}$

Этап 4.3.8.3

Умножим $10$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{12 x^{2} + 24 x + 10}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 24 x + 10}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 24 x + 10}$

Этап 5.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 24 x + 10}$

Этап 5.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 24 x + 10}$

Этап 5.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 24 x + lim_{x \to 0} 10}$

Этап 5.6

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{12 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 24 x + lim_{x \to 0} 10}$

Этап 5.7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 24 x + lim_{x \to 0} 10}$

Этап 5.8

Вынесем член $24$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 10}$

Этап 5.9

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x + 10}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x + 10}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} + \sin (0)}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x + 10}$

Этап 6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} + \sin (0)}{12 \cdot 0^{2} + 24 lim_{x \to 0} x + 10}$

Этап 6.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} + \sin (0)}{12 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 + 10}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 + \sin (0)}{12 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 + 10}$

Этап 7.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1 + 0}{12 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 + 10}$

Этап 7.1.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 + 10}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{12 \cdot 0 + 24 \cdot 0 + 10}$

Этап 7.2.2

Умножим $12$ на $0$ .

$\frac{1}{0 + 24 \cdot 0 + 10}$

Этап 7.2.3

Умножим $24$ на $0$ .

$\frac{1}{0 + 0 + 10}$

Этап 7.2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{0 + 10}$

Этап 7.2.5

Добавим $0$ и $10$ .

$\frac{1}{10}$