Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{18}}}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 1.2

Поскольку показатель степени $\frac{x}{18}$ стремится к $\infty$ , величина $e^{\frac{x}{18}}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{18}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{18}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \frac{x}{18}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{18}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{18}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{18}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Поскольку $\frac{1}{18}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{18}$ по $x$ равна $\frac{1}{18} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}} (\frac{1}{18} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{18}$ и $e^{\frac{x}{18}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.6

Умножим $\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}}{1}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{18} \cdot 1$

Этап 5

Умножим $\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}$

Этап 6

Поскольку функция $e^{\frac{1}{18} x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $\frac{1}{18}$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $\frac{1}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{18} x}$

Этап 6.2

Поскольку показатель степени $\frac{1}{18} x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{\frac{1}{18} x}$ стремится к $\infty$ .

$\infty$