Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} (x)}{9 x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{-1} (x)}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Этап 1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем предел $\sin^{-1} (x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin^{-1} (0)}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Этап 1.2.2

Точное значение $\sin^{-1} (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{9 lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{9 \cdot 0}$

Этап 1.3.3

Умножим $9$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} (x)}{9 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Этап 3.2

Производная $\sin^{-1} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Этап 3.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{9 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{9 \cdot 1}$

Этап 3.5

Умножим $9$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{9}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{9}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ на $\frac{1}{9}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot 9}$

Этап 5.2

Вынесем член $\frac{1}{9}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 5.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 5.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}$

Этап 5.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Этап 5.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Этап 5.8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{9 \sqrt{1 - 0^{2}}}$

Этап 7.2

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1 - 0^{2}}}$

Этап 7.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1 - 0}}$

Этап 7.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1 + 0}}$

Этап 7.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1}}$

Этап 7.3.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{9 \cdot 1}$

Этап 7.4

Умножим $9$ на $1$ .

$\frac{1}{9}$