Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + 1}{lim_{x \to \infty} x - 1}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - 1}$

Этап 1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 3.6

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{1 + 0}$

Этап 3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{1}$

Этап 4

Разделим $2 x + 2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 x + 2$

Этап 5

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\infty$