Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 121} - 11}{\tan (x)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} - 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.1.4

Найдем предел $121$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.1.5

Найдем предел $11$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{0 + 121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Добавим $0$ и $121$ .

$\frac{\sqrt{121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.3.1.2

Перепишем $121$ в виде $11^{2}$ .

$\frac{\sqrt{11^{2}} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{11 - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $11$ .

$\frac{11 - 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $11$ из $11$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Этап 1.3.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 121} - 11}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121} - 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121} - 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{x + 121} - 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 121}$ в виде ${(x + 121)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 121)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 121$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 121$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 121$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $x + 121$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [121]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [121]) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [121]) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.5

Поскольку $121$ является константой относительно $x$ , производная $121$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.13

Умножим $\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.14

Перенесем ${(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.5

Добавим $\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.6

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}}{\sec^{2} (x)}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Этап 5

Перепишем ${(x + 121)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x + 121}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 121}} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Этап 6

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x + 121}}$ на $\frac{1}{\sec^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Этап 7

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Этап 11

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Этап 12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Этап 13

Найдем предел $121$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Этап 14

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Этап 15

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 16

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 16.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0)}$

Этап 17

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{2 (\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0))}$

Этап 17.2

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0)}$

Этап 17.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Добавим $0$ и $121$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{121} \sec^{2} (0)}$

Этап 17.3.2

Перепишем $121$ в виде $11^{2}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{11^{2}} \sec^{2} (0)}$

Этап 17.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2 \cdot 11 \sec^{2} (0)}$

Этап 17.3.4

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 11 \cdot 1^{2}}$

Этап 17.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2 \cdot 11 \cdot 1}$

Этап 17.3.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.6.1

Умножим $2$ на $11$ .

$\frac{1}{22 \cdot 1}$

Этап 17.3.6.2

Умножим $22$ на $1$ .

$\frac{1}{22}$