Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec^{2} (5 x)}{{(6 x)}^{2}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (5 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (5 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.1.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.1.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Изменим порядок $1$ и $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ .

$\frac{- \sec^{2} (5 \cdot 0) + 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ .

$\frac{- (\sec^{2} (5 \cdot 0)) + 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- (\sec^{2} (5 \cdot 0) - 1)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.3.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \tan^{2} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.3.6

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{- \tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.3.7

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{- 0^{2}}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{- 0}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.2.3.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении ${(6 x)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 6 x)}^{2}}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(6 lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{{(6 \cdot 0)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec^{2} (5 x)}{{(6 x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $1 - \sec^{2} (5 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sec^{2} (5 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.3.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.6

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 5))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.7

Перенесем $5$ влево от $\sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (5 \cdot (\sec (5 x) \tan (5 x))))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.8

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (5 \sec (5 x) \tan (5 x)))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.9

Умножим $5$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x)))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.10

Возведем $\sec (5 x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec (5 x)) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.11

Возведем $\sec (5 x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec^{1} (5 x)) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 {\sec (5 x)}^{1 + 1} \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.13

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.14

Умножим $10$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 10 (\sec^{2} (5 x) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.4.15

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)$ из $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.5.2

Выразим $\sec (5 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.5.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.5.4

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.5.5

Объединим $- 10$ и $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.5.7

Выразим $\tan (5 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.5.8

Умножим $- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1

Умножим $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ на $\frac{10}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos (5 x) \cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.5.8.2

Умножим $\cos (5 x)$ на $\cos^{2} (5 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.2.1

Умножим $\cos (5 x)$ на $\cos^{2} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.2.1.1

Возведем $\cos (5 x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.5.8.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{{\cos (5 x)}^{1 + 2}}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.5.8.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.5.9

Перенесем $10$ влево от $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Этап 3.6

Применим правило умножения к $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [6^{2} x^{2}]}$

Этап 3.7

Возведем $6$ в степень $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [36 x^{2}]}$

Этап 3.8

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x^{2}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{36 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{36 (2 x)}$

Этап 3.10

Умножим $2$ на $36$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{72 x}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} - \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} \cdot \frac{1}{72 x}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{72 x}$ на $\frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{10 \sin (5 x)}{72 x \cos^{3} (5 x)}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $10$ и $72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10 \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sin (5 x))}{72 x \cos^{3} (5 x)}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $72 x \cos^{3} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sin (5 x))}{2 (36 x \cos^{3} (5 x))}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sin (5 x))}{2 (36 x \cos^{3} (5 x))}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} - \frac{5 \sin (5 x)}{36 x \cos^{3} (5 x)}$

Этап 5.3

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{36 x \cos^{3} (5 x)}$

Этап 5.4

Вынесем член $\frac{5}{36}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x \cos^{3} (5 x)}$

Этап 6

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Этап 6.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Этап 6.1.2.1.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Этап 6.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Этап 6.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1

Умножим $5$ на $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Этап 6.1.2.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Этап 6.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Этап 6.1.3.2

Вынесем степень $3$ в выражении $\cos^{3} (5 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3}}$

Этап 6.1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Этап 6.1.3.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 6.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 6.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 6.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.6.1

Умножим $5$ на $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos^{3} (0)}$

Этап 6.1.3.6.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1^{3}}$

Этап 6.1.3.6.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1}$

Этап 6.1.3.6.4

Умножим $0$ на $1$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 6.1.3.6.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 6.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 6.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x \cos^{3} (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Этап 6.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Этап 6.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Этап 6.3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Этап 6.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Этап 6.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Этап 6.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Этап 6.3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Этап 6.3.6

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Этап 6.3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos^{3} (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.8.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.9.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.9.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.10

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 3 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.11

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 3 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.12

Умножим $5$ на $- 3$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 1 + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.14

Умножим $- 15$ на $1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x) \cdot 1}$

Этап 6.3.16

Умножим $\cos^{3} (5 x)$ на $1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Этап 6.3.17

Изменим порядок членов.

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{- 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{- 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Этап 7.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} - 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Этап 7.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} - 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Этап 7.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Этап 7.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Этап 7.6

Вынесем член $15$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Этап 7.7

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Этап 7.8

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (5 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Этап 7.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Этап 7.10

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Этап 7.11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Этап 7.12

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Этап 7.13

Вынесем степень $3$ в выражении $\cos^{3} (5 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3}}$

Этап 7.14

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Этап 7.15

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 8.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 8.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- \frac{5}{36} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 (\frac{5}{36}) \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.1.2

Объединим $- 5$ и $\frac{5}{36}$ .

$\frac{- 5 \cdot 5}{36} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.1.3

Умножим $- 5$ на $5$ .

$\frac{- 25}{36} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $5$ на $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{\cos (0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $- 15$ на $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.4.2

Умножим $5$ на $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.4.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1^{2} \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.4.5

Умножим $0$ на $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.4.6

Умножим $5$ на $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.4.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.4.8

Умножим $0$ на $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Этап 9.4.9

Умножим $5$ на $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (0)}$

Этап 9.4.10

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + 1^{3}}$

Этап 9.4.11

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Этап 9.4.12

Добавим $0$ и $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 9.5.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{25}{36} \cdot 1$

Этап 9.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{25}{36}$