Математический анализ Примеры

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t} + t^{2}}{e^{t} - t}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на самый быстрорастущий член в знаменателе.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{t}}{e^{t}} + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{t}}{e^{t}} + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 2.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1 + \frac{lim_{t \to \infty} t^{2}}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 3.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{1 + \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 3.1.3

Поскольку показатель степени $t$ стремится к $\infty$ , величина $e^{t}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 3.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ имеет вид $a^{t} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1 + 2 \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 5.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 5.1.3

Поскольку показатель степени $t$ стремится к $\infty$ , величина $e^{t}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 5.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 5.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 5.3.3

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{e^{t}}$ стремится к $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 1 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 7.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}$

Этап 8

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}$

Этап 8.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}$

Этап 8.1.3

Поскольку показатель степени $t$ стремится к $\infty$ , величина $e^{t}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 8.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 8.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Этап 8.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}$

Этап 8.3.3

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{t}}}$

Этап 9

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 - 0}$

Этап 10.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1 - 0}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Этап 10.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 10.3

Разделим $1$ на $1$ .

$1$