Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} - x - 1)}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - x - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.5.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.5.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} - x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - x - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - x - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $e^{x} - x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.6

Добавим $e^{x} - 1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{2 x}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.2

По правилу суммы производная $e^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{1}$

Этап 5.4

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} e^{x}$

Этап 6

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{2} e^{lim_{x \to 0} x}$

Этап 7

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} e^{0}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$