Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} - 5^{x} - 1}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 6^{x} - 5^{x} - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 6^{x} - lim_{x \to 1} 5^{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{6^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 5^{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{6^{lim_{x \to 1} x} - 5^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{6^{lim_{x \to 1} x} - 5^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{6^{1} - 5^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{6^{1} - 5^{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Найдем экспоненту.

$\frac{6 - 5^{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.6.1.2

Найдем экспоненту.

$\frac{6 - 1 \cdot 5 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{6 - 5 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{6 - 5 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $5$ из $6$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.6.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} - 5^{x} - 1}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [6^{x} - 5^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [6^{x} - 5^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $6^{x} - 5^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $6$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) + \frac{d}{d x} [- 5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 5^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - \frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - (5^{x} \ln (5)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.4.3

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.6

Добавим $6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{2 x + 0}$

Этап 3.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{2 x}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{x}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 6^{x} \ln (6) - lim_{x \to 1} 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 7

Вынесем член $\ln (6)$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) lim_{x \to 1} 6^{x} - lim_{x \to 1} 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 8

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 9

Вынесем член $\ln (5)$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{lim_{x \to 1} x} - \ln (5) lim_{x \to 1} 5^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 10

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{lim_{x \to 1} x} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1}}{1}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Разделим $\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1})$

Этап 12.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} (\ln (6) \cdot 6 - \ln (5) \cdot 5^{1})$

Этап 12.2.2

Перенесем $6$ влево от $\ln (6)$ .

$\frac{1}{2} (6 \cdot \ln (6) - \ln (5) \cdot 5^{1})$

Этап 12.2.3

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} (6 \ln (6) - \ln (5) \cdot 5)$

Этап 12.2.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (6 \ln (6) - 5 \ln (5))$

Этап 12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (6 \ln (6)) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Этап 12.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \ln (6)$ .

$\frac{1}{2} (2 (3 \ln (6))) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Этап 12.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 (3 \ln (6))) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Этап 12.4.3

Перепишем это выражение.

$3 \ln (6) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Этап 12.5

Умножим $\frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 \ln (6) + \frac{- 5}{2} \ln (5)$

Этап 12.5.2

Объединим $\frac{- 5}{2}$ и $\ln (5)$ .

$3 \ln (6) + \frac{- 5 \ln (5)}{2}$

Этап 12.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \ln (6) - \frac{5 \ln (5)}{2}$