Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 3 x + 1}{3 x^{2} - 5}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 x^{2} - 3 x + 1}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 5}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 5}$

Этап 1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 3 x + 1}{3 x^{2} - 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5]}$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5]}$

Этап 3.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5]}$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x - 3 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5]}$

Этап 3.6

Добавим $10 x - 3$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x - 3}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x - 3}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 3.8.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x - 3}{6 x + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 3.9

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x - 3}{6 x + 0}$

Этап 3.10

Добавим $6 x$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x - 3}{6 x}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to \infty} \frac{10 x - 3}{x}$

Этап 5

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{x}{x}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{x}{x}}$

Этап 6.1.1.2

Разделим $10$ на $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{- 3}{x}}{\frac{x}{x}}$

Этап 6.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{6} lim_{x \to \infty} \frac{10 - \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6} lim_{x \to \infty} \frac{10 - \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6} lim_{x \to \infty} \frac{10 - \frac{3}{x}}{1}$

Этап 6.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 10 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 6.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 10 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 6.5

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{10 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 6.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{10 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{10 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{10 - 3 \cdot 0}{1}$

Этап 8.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим $10 - 3 \cdot 0$ на $1$ .

$\frac{1}{6} (10 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.2.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{1}{6} (10 + 0)$

Этап 8.2.3

Добавим $10$ и $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 10$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 10$

Этап 8.2.4.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 5)$

Этап 8.2.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 5)$

Этап 8.2.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot 5$

Этап 8.2.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $5$ .

$\frac{5}{3}$