Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\arctan (x)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Этап 1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Этап 1.2.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Этап 1.2.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Этап 1.2.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Этап 1.2.4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Этап 1.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Найдем предел $\arctan (x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\arctan (0)}$

Этап 1.3.2

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\arctan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\tan (x) - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Этап 3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Этап 3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Этап 3.6

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{1}{1 + x^{2}}}$

Этап 3.7

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{1}{x^{2} + 1}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} (- 1 + \sec^{2} (x)) (x^{2} + 1)$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$(- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$(- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Этап 9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Этап 11

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Этап 12

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$(- 1 + \sec^{2} (0)) \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$(- 1 + \sec^{2} (0)) \cdot (0^{2} + 1)$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Изменим порядок $- 1$ и $\sec^{2} (0)$ .

$(\sec^{2} (0) - 1) \cdot (0^{2} + 1)$

Этап 14.2

Применим формулу Пифагора.

$\tan^{2} (0) \cdot (0^{2} + 1)$

Этап 14.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$0^{2} \cdot (0^{2} + 1)$

Этап 14.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 \cdot (0^{2} + 1)$

Этап 14.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 \cdot (0 + 1)$

Этап 14.6

Добавим $0$ и $1$ .

$0 \cdot 1$

Этап 14.7

Умножим $0$ на $1$ .

$0$