Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 10 x}{2 x + \frac{1}{3 x}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 10 x}{lim_{x \to \infty} 2 x + \frac{1}{3 x}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 10 x}{lim_{x \to \infty} 2 x + \frac{1}{3 x}}$

Этап 1.2.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} 10 x}{lim_{x \to \infty} 2 x + \frac{1}{3 x}}$

Этап 1.2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{0 - \infty}{lim_{x \to \infty} 2 x + \frac{1}{3 x}}$

Этап 1.2.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\frac{0 + - \infty}{lim_{x \to \infty} 2 x + \frac{1}{3 x}}$

Этап 1.2.3.2.2

Вычтем $\infty$ из $0$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 x + \frac{1}{3 x}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 x + lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x}}$

Этап 1.3.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{- \infty}{\infty + lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x}}$

Этап 1.3.1.3

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \infty}{\infty + \frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 1.3.2

$\frac{- \infty}{\infty + \frac{1}{3} \cdot 0}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$\frac{- \infty}{\infty + 0}$

Этап 1.3.3.2

Добавим $\infty$ и $0$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 1.3.3.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 1.3.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 10 x}{2 x + \frac{1}{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{x} - 10 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{- 2} - 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{- 2} - 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Этап 3.4.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{- 2} - 10}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Этап 3.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $2 x + \frac{1}{3 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}]}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}]}$

Этап 3.7.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}]}$

Этап 3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.8.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Этап 3.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 + \frac{1}{3} (- x^{- 2})}$

Этап 3.8.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- 2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 - \frac{x^{- 2}}{3}}$

Этап 3.8.5

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 - \frac{1}{3 x^{2}}}$

Этап 3.9

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{- \frac{1}{3 x^{2}} + 2}$

Этап 4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $- 10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10 \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}}{- \frac{1}{3 x^{2}} + 2}$

Этап 4.2

Объединим $- 10$ и $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{2}}{x^{2}}}{- \frac{1}{3 x^{2}} + 2}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 10 x^{2}}{x^{2}}}{- \frac{1}{3 x^{2}} + 2}$

Этап 4.4

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 10 x^{2}}{x^{2}}}{- \frac{1}{3 x^{2}} + 2 \cdot \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}}$

Этап 4.5

Объединим $2$ и $\frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 10 x^{2}}{x^{2}}}{- \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 10 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - 10 x^{2}}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Этап 6

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Этап 7.1.2

Разделим $- 10$ на $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Этап 7.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2}} - 10}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Этап 7.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 10}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Этап 8

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\frac{- 0 - lim_{x \to \infty} 10}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Этап 9.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Этап 9.3

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 \cdot 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 9.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 6 x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 10

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{6 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 11

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{6 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 11.1.2

Разделим $6$ на $1$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 6}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 6}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 11.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 6}{1}}$

Этап 11.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2}} + 6}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 11.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 12

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{- 0 + lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 13

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 6}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 13.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 6}{1}}$

Этап 13.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Разделим $0 - 1 \cdot 10$ на $1$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 10}{\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 6}{1}}$

Этап 13.3.2

Разделим $0 + 6$ на $1$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 10}{\frac{1}{3} (0 + 6)}$

Этап 13.3.3

Сократим общий множитель $0 - 1 \cdot 10$ и $0 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$\frac{- 1 (0) - 1 \cdot 10}{\frac{1}{3} (0 + 6)}$

Этап 13.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 10$ .

$\frac{- 1 (0) - 1 (10)}{\frac{1}{3} (0 + 6)}$

Этап 13.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (0) - 1 (10)$ .

$\frac{- 1 (0 + 10)}{\frac{1}{3} (0 + 6)}$

Этап 13.3.3.4

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (0 + 10)$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 5))}{\frac{1}{3} (0 + 6)}$

Этап 13.3.3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{1}{3} (0 + 6)$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 5))}{2 (\frac{1}{3} (0 + 3))}$

Этап 13.3.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (0 + 5))}{2 (\frac{1}{3} (0 + 3))}$

Этап 13.3.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (0 + 5)}{\frac{1}{3} (0 + 3)}$

Этап 13.3.4

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 5}{\frac{1}{3} (0 + 3)}$

Этап 13.3.5

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{- 1 \cdot 5}{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 13.3.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{- 5}{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 13.3.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{- 5}{\frac{3}{3}}$

Этап 13.3.8

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{- 5}{1}$

Этап 13.3.9

Разделим $- 5$ на $1$ .

$- 5$