Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{64 + h} - \sqrt{64}}{h}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{64 + h} - \sqrt{64}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{64 + h} - lim_{h \to 0} \sqrt{64}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 64 + h} - lim_{h \to 0} \sqrt{64}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 64 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{64}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.2.1.4

Найдем предел $64$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{64 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{64}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.2.1.5

Найдем предел $\sqrt{64}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{64 + lim_{h \to 0} h} - \sqrt{64}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{\sqrt{64 + 0} - \sqrt{64}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Добавим $64$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{64} - \sqrt{64}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.2.3.1.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8^{2}} - \sqrt{64}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{8 - \sqrt{64}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.2.3.1.4

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{8 - \sqrt{8^{2}}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{64 + h} - \sqrt{64}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{64 + h} - \sqrt{64}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{64 + h} - \sqrt{64}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{64 + h} - \sqrt{8^{2}}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{64 + h} - 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $\sqrt{64 + h} - 1 \cdot 8$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [\sqrt{64 + h}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{64 + h}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d h} [\sqrt{64 + h}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{64 + h}$ в виде ${(64 + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(64 + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ и $g (h) = 64 + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $64 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [64 + h] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [64 + h] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $64 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(64 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [64 + h] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.3

По правилу суммы производная $64 + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(64 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.4

Поскольку $64$ является константой относительно $h$ , производная $64$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(64 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(64 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(64 + h)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(64 + h)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(64 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(64 + h)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(64 + h)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(64 + h)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.11

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(64 + h)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(64 + h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(64 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.13

Умножим $\frac{{(64 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(64 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.5.14

Перенесем ${(64 + h)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(64 + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.6

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(64 + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.6.2

Поскольку $- 8$ является константой относительно $h$ , производная $- 8$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(64 + h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.7

Добавим $\frac{1}{2 {(64 + h)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(64 + h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(64 + h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(64 + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 5

Перепишем ${(64 + h)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{64 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{64 + h}} \cdot 1$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{64 + h}}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{64 + h}}$

Этап 6.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{64 + h}}$

Этап 6.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{64 + h}}$

Этап 6.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{64 + h}}$

Этап 6.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 64 + h}}$

Этап 6.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 64 + lim_{h \to 0} h}}$

Этап 6.7

Найдем предел $64$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{64 + lim_{h \to 0} h}}$

Этап 7

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{64 + 0}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Добавим $64$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{64}}$

Этап 8.1.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{8^{2}}}$

Этап 8.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8}$

Этап 8.2.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{1}{16}$