Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} (x)}{x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{-1} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем предел $\tan^{-1} (x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan^{-1} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.2

Точное значение $\tan^{-1} (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2

Производная $\tan^{-1} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{1}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot 1$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{x^{2} + 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Этап 5.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Этап 5.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 5.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 5.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{0^{2} + 1}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Этап 7.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 7.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$