Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x^{3}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Этап 1.2.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Этап 1.2.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Этап 1.2.2

Поскольку показатель степени $x^{2}$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x^{2}}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\frac{\infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Этап 1.2.3.2

Произведение бесконечностей бесконечно.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Этап 1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{x^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.10

Умножим $e^{x^{2}}$ на $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot 2) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.11

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.13

Умножим $e^{x^{2}}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.14.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.14.2.2

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.14.3

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.14.4

Изменим порядок множителей в $4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 3.15

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{4 (3 x^{2})}$

Этап 3.17

Умножим $3$ на $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{12 x^{2}}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 \cdot lim_{x \to \infty} x^{2} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Этап 4.1.2.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 \cdot lim_{x \to \infty} x^{2} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Этап 4.1.2.1.4

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{4 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Поскольку показатель степени $x^{2}$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x^{2}}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{4 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Этап 4.1.2.3

Поскольку функция $e^{x^{2}}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $2$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $2$ .

$\frac{4 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Этап 4.1.2.3.2

Поскольку показатель степени $x^{2}$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x^{2}}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{4 \cdot \infty \cdot \infty + \infty}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Этап 4.1.2.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\frac{\infty \cdot \infty + \infty}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Этап 4.1.2.4.1.2

Произведение бесконечностей бесконечно.

$\frac{\infty + \infty}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Этап 4.1.2.4.2

Сумма бесконечностей бесконечна.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Этап 4.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 4.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{12 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2} e^{x^{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.3.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.6.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.3.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{1} x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.3.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{1 + 2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.3.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.3.7

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.4.4

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.5.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 8 (e^{x^{2}} (x)) + 4 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.5.2.3

Добавим $8 e^{x^{2}} x$ и $4 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.5.3

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.5.4

Изменим порядок множителей в $8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 4.3.6

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{12 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 4.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{12 (2 x)}$

Этап 4.3.8

Умножим $2$ на $12$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{24 x}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{3} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 \cdot lim_{x \to \infty} x^{3} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2.1.3

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{8 \cdot lim_{x \to \infty} x^{3} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2.1.4

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{8 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2.2

Поскольку показатель степени $x^{2}$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x^{2}}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 12 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2.3.2

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + 12 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2.3.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + 12 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2.4

Поскольку показатель степени $x^{2}$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x^{2}}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + 12 \cdot \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.5.1.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\frac{\infty \cdot \infty + 12 \cdot \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2.5.1.2

Произведение бесконечностей бесконечно.

$\frac{\infty + 12 \cdot \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2.5.1.3

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\frac{\infty + \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2.5.1.4

Произведение бесконечностей бесконечно.

$\frac{\infty + \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.2.5.2

Сумма бесконечностей бесконечна.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 5.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 5.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{24 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.2

По правилу суммы производная $8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3} e^{x^{2}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.3.3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.3.6

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x \cdot x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.3.6.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{1} x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.3.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{1 + 3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.3.6.3

Добавим $1$ и $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.3.7

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x e^{x^{2}}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.4.3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.4.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.4.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.4.10

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.4.11

Умножим $e^{x^{2}}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Умножим $2$ на $8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 (x^{4} (e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.5.3.2

Умножим $3$ на $8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 (e^{x^{2}} (x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.5.3.3

Умножим $2$ на $12$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 e^{x^{2}} x^{2} + 24 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.5.3.4

Добавим $24 e^{x^{2}} x^{2}$ и $24 x^{2} e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.4.1

Перенесем $e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.5.3.4.2

Добавим $24 x^{2} e^{x^{2}}$ и $24 x^{2} e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.5.4

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.5.5

Изменим порядок множителей в $16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 5.3.6

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{24 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{24 \cdot 1}$

Этап 5.3.8

Умножим $24$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{24}$

Этап 6

Поскольку функция $16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $\frac{1}{24}$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $\frac{1}{24}$ .

$lim_{x \to \infty} 16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$

Этап 6.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 16 x^{4} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Этап 6.2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 16 \cdot lim_{x \to \infty} x^{4} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Этап 6.2.3

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$16 \cdot lim_{x \to \infty} x^{4} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Этап 6.2.4

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$16 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Этап 6.3

Поскольку показатель степени $x^{2}$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x^{2}}$ стремится к $\infty$ .

$16 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Этап 6.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$16 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 48 \cdot lim_{x \to \infty} x^{2} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Этап 6.4.2

Найдем предел $48$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot lim_{x \to \infty} x^{2} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Этап 6.4.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Этап 6.5

Поскольку показатель степени $x^{2}$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x^{2}}$ стремится к $\infty$ .

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Этап 6.6

Поскольку функция $e^{x^{2}}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $12$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $12$ .

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}$

Этап 6.6.2

Поскольку показатель степени $x^{2}$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x^{2}}$ стремится к $\infty$ .

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + \infty$

Этап 6.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + \infty$

Этап 6.7.1.2

Произведение бесконечностей бесконечно.

$\infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + \infty$

Этап 6.7.1.3

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\infty + \infty \cdot \infty + \infty$

Этап 6.7.1.4

Произведение бесконечностей бесконечно.

$\infty + \infty + \infty$

Этап 6.7.2

Сумма бесконечностей бесконечна.

$\infty + \infty$

Этап 6.7.3

Сумма бесконечностей бесконечна.

$\infty$