Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \ln (x)}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{1} \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{1} \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $\ln (1)$ на $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.5.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \ln (x)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.5

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.6

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.7

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.7.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.7.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.12.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.15

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.16

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.17

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.19

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 0}$

Этап 3.20

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 4

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 4.2

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Этап 5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $\frac{1}{\sqrt{x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Этап 5.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sqrt{x} \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{\sqrt{x} \cdot 2} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Этап 5.2.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{x}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 8

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{2 + \ln (x)}{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 11

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 12

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 13

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 14.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}}{1}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Разделим $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}})$

Этап 15.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 0}{\sqrt{1}})$

Этап 15.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{1}})$

Этап 15.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1})$

Этап 15.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1})$

Этап 15.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 15.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$