Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{e^{5 x} + \ln (x)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 5 x + 2}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + \ln (x)}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + \ln (x)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Этап 1.3.2

Поскольку показатель степени $5 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Этап 1.3.3

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Этап 1.3.4

Сумма бесконечностей бесконечна.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.3.5

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{e^{5 x} + \ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 5 x + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 5 x + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 5 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Этап 3.4.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Этап 3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + 0}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Этап 3.6

Добавим $8 x - 5$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $e^{5 x} + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.8.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.8.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.8.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.8.4

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.8.5

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.9

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{5 e^{5 x} + \frac{1}{x}}$

Этап 3.10

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1}{x} + 5 e^{5 x}}$

Этап 4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $5 e^{5 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1}{x} + \frac{5 e^{5 x} x}{x}}$

Этап 4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1 + 5 e^{5 x} x}{x}}$

Этап 5

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} (8 x - 5) \frac{x}{1 + 5 e^{5 x} x}$

Этап 5.2

Умножим $8 x - 5$ на $\frac{x}{1 + 5 e^{5 x} x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) x}{1 + 5 e^{5 x} x}$

Этап 6

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} (8 x - 5) x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Этап 6.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x \cdot x - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Этап 6.1.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 (x^{1} x) - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Этап 6.1.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 (x^{1} x^{1}) - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Этап 6.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{1 + 1} - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Этап 6.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{2} - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Этап 6.1.2.6

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Этап 6.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x} x}$

Этап 6.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x} x}$

Этап 6.1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + lim_{x \to \infty} 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Этап 6.1.3.1.4

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Этап 6.1.3.2

Поскольку показатель степени $5 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Этап 6.1.3.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.1

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot \infty \cdot \infty}$

Этап 6.1.3.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.2.1.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\frac{\infty}{1 + \infty \cdot \infty}$

Этап 6.1.3.3.2.1.2

Произведение бесконечностей бесконечно.

$\frac{\infty}{1 + \infty}$

Этап 6.1.3.3.2.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 6.1.3.3.2.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 6.1.3.3.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 6.1.3.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 6.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) x}{1 + 5 e^{5 x} x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(8 x - 5) x]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(8 x - 5) x]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 8 x - 5$ и $g (x) = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.4

Умножим $8 x - 5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.5

По правилу суммы производная $8 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.6

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.8

Умножим $8$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.9

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 + 0)}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.10

Добавим $8$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x \cdot 8}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.11

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + 8 \cdot x}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.12

Добавим $8 x$ и $8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.13

По правилу суммы производная $1 + 5 e^{5 x} x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.15

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.15.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{5 x} x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x} x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{5 x} x]}$

Этап 6.3.15.2

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}$

Этап 6.3.15.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}$

Этап 6.3.15.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.15.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Этап 6.3.15.4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Этап 6.3.15.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Этап 6.3.15.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])))}$

Этап 6.3.15.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} (5 \cdot 1)))}$

Этап 6.3.15.7

Умножим $e^{5 x}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (e^{5 x} (5 \cdot 1)))}$

Этап 6.3.15.8

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (e^{5 x} \cdot 5))}$

Этап 6.3.15.9

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (5 e^{5 x}))}$

Этап 6.3.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 e^{5 x} + 5 (x (5 e^{5 x}))}$

Этап 6.3.16.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.16.2.1

Умножим $5$ на $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 e^{5 x} + 25 (x (e^{5 x}))}$

Этап 6.3.16.2.2

Добавим $0$ и $5 e^{5 x} + 25 x e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{5 e^{5 x} + 25 x e^{5 x}}$

Этап 6.3.16.3

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 e^{5 x} x + 5 e^{5 x}}$

Этап 6.3.16.4

Изменим порядок множителей в $25 e^{5 x} x + 5 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Этап 7

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 16 x - 5}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Этап 7.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Этап 7.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Этап 7.1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Этап 7.1.3.1.3

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{25 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Этап 7.1.3.1.4

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Этап 7.1.3.2

Поскольку показатель степени $5 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Этап 7.1.3.3

Поскольку функция $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $5$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.3.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $5$ .

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Этап 7.1.3.3.2

Поскольку показатель степени $5 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + \infty}$

Этап 7.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.4.1.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty \cdot \infty + \infty}$

Этап 7.1.3.4.1.2

Произведение бесконечностей бесконечно.

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Этап 7.1.3.4.2

Сумма бесконечностей бесконечна.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 7.1.3.4.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 7.1.3.5

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 7.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x - 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x - 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.2

По правилу суммы производная $16 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.3.3

Умножим $16$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 + 0}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.5

Добавим $16$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.6

По правилу суммы производная $25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.1

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 x e^{5 x}$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.7.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.7.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.7.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.7.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.7.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.7.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.7.7

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.7.8

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.7.9

Умножим $e^{5 x}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Этап 7.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.8.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{5 x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Этап 7.3.8.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.8.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])}$

Этап 7.3.8.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Этап 7.3.8.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Этап 7.3.8.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

Этап 7.3.8.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} (5 \cdot 1))}$

Этап 7.3.8.5

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} \cdot 5)}$

Этап 7.3.8.6

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (5 \cdot e^{5 x})}$

Этап 7.3.8.7

Умножим $5$ на $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 25 e^{5 x}}$

Этап 7.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x})) + 25 e^{5 x} + 25 e^{5 x}}$

Этап 7.3.9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.9.2.1

Умножим $5$ на $25$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 (x (e^{5 x})) + 25 e^{5 x} + 25 e^{5 x}}$

Этап 7.3.9.2.2

Добавим $25 e^{5 x}$ и $25 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Этап 7.3.9.3

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 e^{5 x} x + 50 e^{5 x}}$

Этап 7.3.9.4

Изменим порядок множителей в $125 e^{5 x} x + 50 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Этап 8

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$16 lim_{x \to \infty} \frac{1}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Этап 9

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$ стремится к $0$ .

$16 \cdot 0$

Этап 10

Умножим $16$ на $0$ .

$0$