Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x^{6} (x)}{6^{x} - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{6} (x)}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{6} \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Этап 1.2.2

Вынесем степень $6$ в выражении $x^{6}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Этап 1.2.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{6} \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Этап 1.2.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{6} \cdot 0}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Этап 1.2.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $0^{6}$ на $0$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Умножим $0^{6}$ на $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.1

Возведем $0$ в степень $1$ .

$\frac{0^{6} \cdot 0^{1}}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Этап 1.2.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{0^{6 + 1}}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Этап 1.2.4.1.2

Добавим $6$ и $1$ .

$\frac{0^{7}}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Этап 1.2.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{6^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{6^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{6^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{6} (x)}{6^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6} (x)]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6} (x)]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Этап 3.2

Умножим $x^{6}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $x^{6}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6} x^{1}]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Этап 3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6 + 1}]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Этап 3.2.2

Добавим $6$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{7}]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $6^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{6^{x} \ln (6) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{6^{x} \ln (6) + 0}$

Этап 3.7

Добавим $6^{x} \ln (6)$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{6^{x} \ln (6)}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{7}{\ln (6)}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7}{\ln (6)} lim_{x \to 0} \frac{x^{6}}{6^{x}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{6}}{lim_{x \to 0} 6^{x}}$

Этап 6

Вынесем степень $6$ в выражении $x^{6}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{6}}{lim_{x \to 0} 6^{x}}$

Этап 7

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{6}}{6^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{0^{6}}{6^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{0^{6}}{6^{0}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим.

$\frac{7 \cdot 0^{6}}{\ln (6) \cdot 6^{0}}$

Этап 9.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{7 \cdot 0}{\ln (6) \cdot 6^{0}}$

Этап 9.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{7 \cdot 0}{\ln (6) \cdot 1}$

Этап 9.4

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{0}{\ln (6) \cdot 1}$

Этап 9.5

Умножим $\ln (6)$ на $1$ .

$\frac{0}{\ln (6)}$

Этап 9.6

Разделим $0$ на $\ln (6)$ .

$0$