Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{(6 e^{x} + 5 e^{- x})}{7 e^{x} + 4 e}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 e^{x} + 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 e^{x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Этап 1.2.2

Поскольку функция $e^{x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $6$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $6$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Этап 1.2.2.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Этап 1.2.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\infty + 5 lim_{x \to \infty} e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Этап 1.2.4

Поскольку показатель степени $- x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{- x}$ стремится к $0$ .

$\frac{\infty + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Этап 1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{\infty + 0}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Этап 1.2.5.2

Добавим $\infty$ и $0$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Этап 1.3.2

Поскольку функция $e^{x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $7$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $7$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Этап 1.3.2.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Этап 1.3.3

Найдем предел $4 e$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 4 e}$

Этап 1.3.4

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.3.5

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{(6 e^{x} + 5 e^{- x})}{7 e^{x} + 4 e} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x} + 5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x} + 5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $6 e^{x} + 5 e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 e^{x}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{- x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.4.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.4.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (- 1 e^{- x})}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.4.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (- e^{- x})}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.4.8

Умножим $- 1$ на $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $7 e^{x} + 4 e$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Этап 3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 e^{x}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Этап 3.6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x} + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Этап 3.7

Поскольку $4 e$ является константой относительно $x$ , производная $4 e$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x} + 0}$

Этап 3.8

Добавим $7 e^{x}$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x}}$