Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{\tan (x - 3)}{3 e^{x - 3} - x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 3} \tan (x - 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\tan (lim_{x \to 3} x - 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Этап 1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{\tan (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Этап 1.2.1.3

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\tan (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{\tan (3 - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\tan (3 - 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Этап 1.2.3.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - lim_{x \to 3} x}$

Этап 1.3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 3} e^{x - 3} - lim_{x \to 3} x}$

Этап 1.3.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} x - 3} - lim_{x \to 3} x}$

Этап 1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3} - lim_{x \to 3} x}$

Этап 1.3.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3} - lim_{x \to 3} x}$

Этап 1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{0}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - lim_{x \to 3} x}$

Этап 1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{0}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - 3}$

Этап 1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{3 e^{3 - 3} - 3}$

Этап 1.3.7.1.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{3 e^{0} - 3}$

Этап 1.3.7.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 3}$

Этап 1.3.7.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Этап 1.3.7.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.7.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{\tan (x - 3)}{3 e^{x - 3} - x} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Этап 3.2.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Этап 3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Этап 3.7

Умножим $\sec^{2} (x - 3)$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Этап 3.8

По правилу суммы производная $3 e^{x - 3} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{x - 3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{x - 3}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 \frac{d}{d x} [e^{x - 3}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.9.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.9.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.9.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (e^{x - 3} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.9.3

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (e^{x - 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.9.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (e^{x - 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.9.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (e^{x - 3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.9.6

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (e^{x - 3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.9.7

Умножим $e^{x - 3}$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 e^{x - 3} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 e^{x - 3} - \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 e^{x - 3} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.10.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 e^{x - 3} - 1}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sec^{2} (x - 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - 1}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x - 3)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} \sec (x - 3))}^{2}}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - 1}$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - 1}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - 1}$

Этап 8

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - 1}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - lim_{x \to 3} 1}$

Этап 10

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{3 lim_{x \to 3} e^{x - 3} - lim_{x \to 3} 1}$

Этап 11

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{3 e^{lim_{x \to 3} x - 3} - lim_{x \to 3} 1}$

Этап 12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{3 e^{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3} - lim_{x \to 3} 1}$

Этап 13

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{3 e^{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3} - lim_{x \to 3} 1}$

Этап 14

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{3 e^{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Этап 15

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{\sec^{2} (3 - 1 \cdot 3)}{3 e^{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Этап 15.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{\sec^{2} (3 - 1 \cdot 3)}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Этап 16

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\sec^{2} (3 - 3)}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Этап 16.1.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{\sec^{2} (0)}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Этап 16.1.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1^{2}}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Этап 16.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Этап 16.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3 e^{3 - 3} - 1 \cdot 1}$

Этап 16.2.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{1}{3 e^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 16.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 16.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3 - 1 \cdot 1}$

Этап 16.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3 - 1}$

Этап 16.2.6

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{1}{2}$