Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}}$ в виде $e^{\ln ({(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}})$ , вынося $\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1} \ln (17 x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1} \ln (17 x)}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}$ и $\ln (17 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (6) + 1) \ln (17 x)}{\ln (4 x) + 1}}$

Этап 2.3

Вынесем член $\ln (6) + 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\ln (17 x)}{\ln (4 x) + 1}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{lim_{x \to \infty} \ln (17 x)}{lim_{x \to \infty} \ln (4 x) + 1}}$

Этап 3.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (4 x) + 1}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (4 x) + lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 3.1.3.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 3.1.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty + 1}}$

Этап 3.1.3.4

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.1.3.5

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (17 x)}{\ln (4 x) + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (17 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (17 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 17 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $17 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [17 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [17 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $17 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{17 x} \frac{d}{d x} [17 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Этап 3.3.3

Поскольку $17$ является константой относительно $x$ , производная $17 x$ по $x$ равна $17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{17 x} \cdot 17 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Этап 3.3.4

Объединим $17$ и $\frac{1}{17 x}$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{17}{17 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Этап 3.3.5

Сократим общий множитель $17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{17}{17 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Этап 3.3.5.2

Перепишем это выражение.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Этап 3.3.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Этап 3.3.8

По правилу суммы производная $\ln (4 x) + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Этап 3.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Этап 3.3.9.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Этап 3.3.9.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Этап 3.3.9.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Этап 3.3.9.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}}$

Этап 3.3.9.4

Умножим $4$ на $1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [1]}}$

Этап 3.3.9.5

Объединим $\frac{1}{4 x}$ и $4$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{4 x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Этап 3.3.9.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.6.1

Сократим общий множитель.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{4 x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Этап 3.3.9.6.2

Перепишем это выражение.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Этап 3.3.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + 0}}$

Этап 3.3.11

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} x}$

Этап 3.5

Объединим $\frac{1}{x}$ и $x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Этап 3.6.2

Перепишем это выражение.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $\ln (6) + 1$ на $1$ .

$e^{\ln (6) + 1}$