Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2 - lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем степень $\frac{1}{8}$ в выражении ${(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 - {(lim_{x \to 0} 256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{2 - {(lim_{x \to 0} 256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.1.5

Найдем предел $256$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2 - {(256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.1.6

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 - {(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 - {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Умножим $- 7$ на $0$ .

$\frac{2 - {(256 + 0)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.3.1.2

Добавим $256$ и $0$ .

$\frac{2 - 256^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.3.1.3

Перепишем $256$ в виде $2^{8}$ .

$\frac{2 - {(2^{8})}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.3.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - 2^{8 (\frac{1}{8})}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.3.1.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 - 2^{8 (\frac{1}{8})}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.3.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 - 2^{1}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.3.1.6

Найдем экспоненту.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.3.1.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем степень $\frac{1}{5}$ в выражении ${(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Этап 1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Этап 1.3.1.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Этап 1.3.1.5

Найдем предел $32$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Этап 1.3.1.6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.3.1.2

Добавим $0$ и $32$ .

$\frac{0}{32^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.3.1.3

Перепишем $32$ в виде $2^{5}$ .

$\frac{0}{{(2^{5})}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.3.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{2^{5 (\frac{1}{5})} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.3.1.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{2^{5 (\frac{1}{5})} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.3.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{2^{1} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.3.1.6

Найдем экспоненту.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.3.1.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ и $g (x) = 256 - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $256 - 7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $256 - 7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.3

По правилу суммы производная $256 - 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [256] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (\frac{d}{d x} [256] + \frac{d}{d x} [- 7 x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.4

Поскольку $256$ является константой относительно $x$ , производная $256$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 - 7 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.8

Объединим $- 1$ и $\frac{8}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1 - 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.10.2

Вычтем $8$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{- 7}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.12

Умножим $- 7$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} (0 - 7))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.13

Вычтем $7$ из $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} \cdot - 7)}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.14

Объединим $\frac{1}{8}$ и ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8} \cdot - 7)}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.15

Объединим $\frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8}$ и $- 7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} \cdot - 7}{8}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.16

Перенесем $- 7$ влево от ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 7 {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.17

Перенесем ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.19

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.4.20

Умножим $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.5

Добавим $0$ и $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная ${(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x + 32$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x + 32$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.2

По правилу суммы производная $5 x + 32$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.5

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.9.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1 - 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.9.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{- 4}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.11

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.12

Добавим $5$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.13

Объединим $\frac{1}{5}$ и ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.14

Объединим $\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5}$ и $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.15

Перенесем $5$ влево от ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5 \cdot {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.16

Умножим $5$ на ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5 {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.17

Перенесем ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5}{5 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.18

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5}{5 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.19

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.8

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + 0}$

Этап 3.9

Добавим $\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}} {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$

Этап 5

Объединим $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ и ${(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{7}{8}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7}{8} lim_{x \to 0} \frac{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 8

Вынесем степень $\frac{4}{5}$ в выражении ${(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 10

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 11

Найдем предел $32$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 12

Вынесем степень $\frac{7}{8}$ в выражении ${(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(lim_{x \to 0} 256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 13

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(lim_{x \to 0} 256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 14

Найдем предел $256$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 15

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 16

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 16.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 17

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Объединим.

$\frac{7 {(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 17.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{7 {(0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 17.2.2

Добавим $0$ и $32$ .

$\frac{7 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 17.2.3

Перепишем $32$ в виде $2^{5}$ .

$\frac{7 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 17.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 17.2.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 17.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7 \cdot 2^{4}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 17.2.6

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 17.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Умножим $- 7$ на $0$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 {(256 + 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 17.3.2

Добавим $256$ и $0$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 256^{\frac{7}{8}}}$

Этап 17.3.3

Перепишем $256$ в виде $2^{8}$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot {(2^{8})}^{\frac{7}{8}}}$

Этап 17.3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{8 (\frac{7}{8})}}$

Этап 17.3.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{8 (\frac{7}{8})}}$

Этап 17.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{7}}$

Этап 17.3.6

Возведем $2$ в степень $7$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 128}$

Этап 17.4

Умножим $7$ на $16$ .

$\frac{112}{8 \cdot 128}$

Этап 17.5

Умножим $8$ на $128$ .

$\frac{112}{1024}$

Этап 17.6

Сократим общий множитель $112$ и $1024$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.6.1

Вынесем множитель $16$ из $112$ .

$\frac{16 (7)}{1024}$

Этап 17.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.6.2.1

Вынесем множитель $16$ из $1024$ .

$\frac{16 \cdot 7}{16 \cdot 64}$

Этап 17.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{16 \cdot 7}{16 \cdot 64}$

Этап 17.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{64}$