Математический анализ Примеры

$f (x) = 12 x + 13 x^{\frac{12}{13}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $12 x + 13 x^{\frac{12}{13}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [13 x^{\frac{12}{13}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [13 x^{\frac{12}{13}}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13 x^{\frac{12}{13}}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13 x^{\frac{12}{13}}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $12$ на $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [13 x^{\frac{12}{13}}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [13 x^{\frac{12}{13}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13 x^{\frac{12}{13}}$ по $x$ равна $13 \frac{d}{d x} [x^{\frac{12}{13}}]$ .

$12 + 13 \frac{d}{d x} [x^{\frac{12}{13}}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{12}{13}$ .

$12 + 13 (\frac{12}{13} x^{\frac{12}{13} - 1})$

Этап 1.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{13}{13}$ .

$12 + 13 (\frac{12}{13} x^{\frac{12}{13} - 1 \cdot \frac{13}{13}})$

Этап 1.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{13}{13}$ .

$12 + 13 (\frac{12}{13} x^{\frac{12}{13} + \frac{- 1 \cdot 13}{13}})$

Этап 1.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$12 + 13 (\frac{12}{13} x^{\frac{12 - 1 \cdot 13}{13}})$

Этап 1.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $13$ .

$12 + 13 (\frac{12}{13} x^{\frac{12 - 13}{13}})$

Этап 1.1.3.6.2

Вычтем $13$ из $12$ .

$12 + 13 (\frac{12}{13} x^{\frac{- 1}{13}})$

Этап 1.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$12 + 13 (\frac{12}{13} x^{- \frac{1}{13}})$

Этап 1.1.3.8

Объединим $\frac{12}{13}$ и $x^{- \frac{1}{13}}$ .

$12 + 13 \frac{12 x^{- \frac{1}{13}}}{13}$

Этап 1.1.3.9

Объединим $13$ и $\frac{12 x^{- \frac{1}{13}}}{13}$ .

$12 + \frac{13 (12 x^{- \frac{1}{13}})}{13}$

Этап 1.1.3.10

Умножим $12$ на $13$ .

$12 + \frac{156 x^{- \frac{1}{13}}}{13}$

Этап 1.1.3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{13}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 + \frac{156}{13 x^{\frac{1}{13}}}$

Этап 1.1.3.12

Вынесем множитель $13$ из $156$ .

$12 + \frac{13 \cdot 12}{13 x^{\frac{1}{13}}}$

Этап 1.1.3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.13.1

Вынесем множитель $13$ из $13 x^{\frac{1}{13}}$ .

$12 + \frac{13 \cdot 12}{13 (x^{\frac{1}{13}})}$

Этап 1.1.3.13.2

Сократим общий множитель.

$12 + \frac{13 \cdot 12}{13 x^{\frac{1}{13}}}$

Этап 1.1.3.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 12 + \frac{12}{x^{\frac{1}{13}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 + \frac{12}{x^{\frac{1}{13}}}$ .

$12 + \frac{12}{x^{\frac{1}{13}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 + \frac{12}{x^{\frac{1}{13}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 + \frac{12}{x^{\frac{1}{13}}} = 0$

Этап 2.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$\frac{12}{x^{\frac{1}{13}}} = - 12$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{\frac{1}{13}}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{\frac{1}{13}}$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{12}{x^{\frac{1}{13}}} = - 12$ умножим на $x^{\frac{1}{13}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{12}{x^{\frac{1}{13}}} = - 12$ на $x^{\frac{1}{13}}$ .

$\frac{12}{x^{\frac{1}{13}}} x^{\frac{1}{13}} = - 12 x^{\frac{1}{13}}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{13}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{x^{\frac{1}{13}}} x^{\frac{1}{13}} = - 12 x^{\frac{1}{13}}$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$12 = - 12 x^{\frac{1}{13}}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 12 x^{\frac{1}{13}} = 12$ .

$- 12 x^{\frac{1}{13}} = 12$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- 12 x^{\frac{1}{13}} = 12$ на $- 12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- 12 x^{\frac{1}{13}} = 12$ на $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{\frac{1}{13}}}{- 12} = \frac{12}{- 12}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12 x^{\frac{1}{13}}}{- 12} = \frac{12}{- 12}$

Этап 2.5.2.2.2

Разделим $x^{\frac{1}{13}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{13}} = \frac{12}{- 12}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Разделим $12$ на $- 12$ .

$x^{\frac{1}{13}} = - 1$

Этап 2.5.3

Возведем обе части уравнения в степень $13$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{13}})}^{13} = {(- 1)}^{13}$

Этап 2.5.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{13}})}^{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{13}})}^{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{13} \cdot 13} = {(- 1)}^{13}$

Этап 2.5.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{13} \cdot 13} = {(- 1)}^{13}$

Этап 2.5.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 1)}^{13}$

Этап 2.5.4.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 1)}^{13}$

Этап 2.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $13$ .

$x = - 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$12 + \frac{12}{\sqrt[13]{x^{1}}}$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$12 + \frac{12}{\sqrt[13]{x}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{12}{\sqrt[13]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[13]{x} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $13$ .

${\sqrt[13]{x}}^{13} = 0^{13}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[13]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{13}}$ .

${(x^{\frac{1}{13}})}^{13} = 0^{13}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{13}})}^{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{13}})}^{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{13} \cdot 13} = 0^{13}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{13} \cdot 13} = 0^{13}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{13}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Упростим.

$x = 0^{13}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $12 x + 13 x^{\frac{12}{13}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$12 (- 1) + 13 {(- 1)}^{\frac{12}{13}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $12$ на $- 1$ .

$- 12 + 13 {(- 1)}^{\frac{12}{13}}$

Этап 4.1.2.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{13}$ .

$- 12 + 13 {({(- 1)}^{13})}^{\frac{12}{13}}$

Этап 4.1.2.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 + 13 {(- 1)}^{13 (\frac{12}{13})}$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$- 12 + 13 {(- 1)}^{13 (\frac{12}{13})}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$- 12 + 13 {(- 1)}^{12}$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $12$ .

$- 12 + 13 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $13$ на $1$ .

$- 12 + 13$

Этап 4.1.2.2

Добавим $- 12$ и $13$ .

$1$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$12 (0) + 13 {(0)}^{\frac{12}{13}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $12$ на $0$ .

$0 + 13 {(0)}^{\frac{12}{13}}$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{13}$ .

$0 + 13 {(0^{13})}^{\frac{12}{13}}$

Этап 4.2.2.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 13 \cdot 0^{13 (\frac{12}{13})}$

Этап 4.2.2.1.4

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$0 + 13 \cdot 0^{13 (\frac{12}{13})}$

Этап 4.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$0 + 13 \cdot 0^{12}$

Этап 4.2.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 13 \cdot 0$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $13$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- 1, 1), (0, 0)$

Этап 5