Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 \cos (x) + 2 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $7 \cos (x) + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 \cos (x)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$7 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$- 7 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 7 \sin (x) + 2 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$- 7 \sin (x) + 2$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 - 7 \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 - 7 \sin (x)$ .

$2 - 7 \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 - 7 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 - 7 \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 7 \sin (x) = - 2$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 7 \sin (x) = - 2$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 7 \sin (x) = - 2$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 \sin (x)}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 \sin (x)}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{- 7}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{2}{7}$

Этап 2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{2}{7})$

Этап 2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{2}{7})$ .

$x = 0.2897517$

Этап 2.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.2897517$

Этап 2.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.2897517$

Этап 2.7.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.2897517$

Этап 2.7.3

Вычтем $0.2897517$ из $3.14159265$ .

$x = 2.85184095$

Этап 2.8

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.2897517 + 2 π n, 2.85184095 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $7 \cos (x) + 2 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0.2897517$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0.2897517$ вместо $x$ .

$7 \cos (0.2897517) + 2 (0.2897517)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $2$ на $0.2897517$ .

$7 \cos (0.2897517) + 0.5795034$

Этап 4.1.2.2

Добавим $7 \cos (0.2897517)$ и $0.5795034$ .

$7.28770733$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0.2897517 + 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0.2897517 + 2 π$ вместо $x$ .

$7 \cos (0.2897517 + 2 π) + 2 (0.2897517 + 2 π)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Добавим $0.2897517$ и $2 π$ .

$7 \cos (6.572937) + 2 (0.2897517 + 2 π)$

Этап 4.2.2.1.2

Добавим $0.2897517$ и $2 π$ .

$7 \cos (6.572937) + 2 \cdot 6.572937$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $2$ на $6.572937$ .

$7 \cos (6.572937) + 13.14587401$

Этап 4.2.2.2

Добавим $7 \cos (6.572937)$ и $13.14587401$ .

$19.85407794$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 0.2897517 + 4 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $0.2897517 + 4 π$ вместо $x$ .

$7 \cos (0.2897517 + 4 π) + 2 (0.2897517 + 4 π)$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Добавим $0.2897517$ и $4 π$ .

$7 \cos (12.85612231) + 2 (0.2897517 + 4 π)$

Этап 4.3.2.1.2

Добавим $0.2897517$ и $4 π$ .

$7 \cos (12.85612231) + 2 \cdot 12.85612231$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим $2$ на $12.85612231$ .

$7 \cos (12.85612231) + 25.71224463$

Этап 4.3.2.2

Добавим $7 \cos (12.85612231)$ и $25.71224463$ .

$32.42044856$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = 0.2897517 + 6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $0.2897517 + 6 π$ вместо $x$ .

$7 \cos (0.2897517 + 6 π) + 2 (0.2897517 + 6 π)$

Этап 4.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Добавим $0.2897517$ и $6 π$ .

$7 \cos (19.13930762) + 2 (0.2897517 + 6 π)$

Этап 4.4.2.1.2

Добавим $0.2897517$ и $6 π$ .

$7 \cos (19.13930762) + 2 \cdot 19.13930762$

Этап 4.4.2.1.3

Умножим $2$ на $19.13930762$ .

$7 \cos (19.13930762) + 38.27861524$

Этап 4.4.2.2

Добавим $7 \cos (19.13930762)$ и $38.27861524$ .

$44.98681917$

Этап 4.5

Найдем значение в $x = 0.2897517 + 8 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим $0.2897517 + 8 π$ вместо $x$ .

$7 \cos (0.2897517 + 8 π) + 2 (0.2897517 + 8 π)$

Этап 4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Добавим $0.2897517$ и $8 π$ .

$7 \cos (25.42249293) + 2 (0.2897517 + 8 π)$

Этап 4.5.2.1.2

Добавим $0.2897517$ и $8 π$ .

$7 \cos (25.42249293) + 2 \cdot 25.42249293$

Этап 4.5.2.1.3

Умножим $2$ на $25.42249293$ .

$7 \cos (25.42249293) + 50.84498586$

Этап 4.5.2.2

Добавим $7 \cos (25.42249293)$ и $50.84498586$ .

$57.55318979$

Этап 4.6

Найдем значение в $x = 2.85184095$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Подставим $2.85184095$ вместо $x$ .

$7 \cos (2.85184095) + 2 (2.85184095)$

Этап 4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Умножим $2$ на $2.85184095$ .

$7 \cos (2.85184095) + 5.7036819$

Этап 4.6.2.2

Добавим $7 \cos (2.85184095)$ и $5.7036819$ .

$- 1.00452202$

Этап 4.7

Найдем значение в $x = 2.85184095 + 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Подставим $2.85184095 + 2 π$ вместо $x$ .

$7 \cos (2.85184095 + 2 π) + 2 (2.85184095 + 2 π)$

Этап 4.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1.1

Добавим $2.85184095$ и $2 π$ .

$7 \cos (9.13502625) + 2 (2.85184095 + 2 π)$

Этап 4.7.2.1.2

Добавим $2.85184095$ и $2 π$ .

$7 \cos (9.13502625) + 2 \cdot 9.13502625$

Этап 4.7.2.1.3

Умножим $2$ на $9.13502625$ .

$7 \cos (9.13502625) + 18.27005251$

Этап 4.7.2.2

Добавим $7 \cos (9.13502625)$ и $18.27005251$ .

$11.56184858$

Этап 4.8

Найдем значение в $x = 2.85184095 + 4 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Подставим $2.85184095 + 4 π$ вместо $x$ .

$7 \cos (2.85184095 + 4 π) + 2 (2.85184095 + 4 π)$

Этап 4.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1.1

Добавим $2.85184095$ и $4 π$ .

$7 \cos (15.41821156) + 2 (2.85184095 + 4 π)$

Этап 4.8.2.1.2

Добавим $2.85184095$ и $4 π$ .

$7 \cos (15.41821156) + 2 \cdot 15.41821156$

Этап 4.8.2.1.3

Умножим $2$ на $15.41821156$ .

$7 \cos (15.41821156) + 30.83642313$

Этап 4.8.2.2

Добавим $7 \cos (15.41821156)$ и $30.83642313$ .

$24.1282192$

Этап 4.9

Найдем значение в $x = 2.85184095 + 6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Подставим $2.85184095 + 6 π$ вместо $x$ .

$7 \cos (2.85184095 + 6 π) + 2 (2.85184095 + 6 π)$

Этап 4.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1.1

Добавим $2.85184095$ и $6 π$ .

$7 \cos (21.70139687) + 2 (2.85184095 + 6 π)$

Этап 4.9.2.1.2

Добавим $2.85184095$ и $6 π$ .

$7 \cos (21.70139687) + 2 \cdot 21.70139687$

Этап 4.9.2.1.3

Умножим $2$ на $21.70139687$ .

$7 \cos (21.70139687) + 43.40279374$

Этап 4.9.2.2

Добавим $7 \cos (21.70139687)$ и $43.40279374$ .

$36.69458981$

Этап 4.10

Найдем значение в $x = 2.85184095 + 8 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Подставим $2.85184095 + 8 π$ вместо $x$ .

$7 \cos (2.85184095 + 8 π) + 2 (2.85184095 + 8 π)$

Этап 4.10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1.1

Добавим $2.85184095$ и $8 π$ .

$7 \cos (27.98458218) + 2 (2.85184095 + 8 π)$

Этап 4.10.2.1.2

Добавим $2.85184095$ и $8 π$ .

$7 \cos (27.98458218) + 2 \cdot 27.98458218$

Этап 4.10.2.1.3

Умножим $2$ на $27.98458218$ .

$7 \cos (27.98458218) + 55.96916436$

Этап 4.10.2.2

Добавим $7 \cos (27.98458218)$ и $55.96916436$ .

$49.26096042$

Этап 4.11

Перечислим все точки.

$(0.2897517, 7.28770733), (0.2897517 + 2 π, 19.85407794), (0.2897517 + 4 π, 32.42044856), (0.2897517 + 6 π, 44.98681917), (0.2897517 + 8 π, 57.55318979), (2.85184095, - 1.00452202), (2.85184095 + 2 π, 11.56184858), (2.85184095 + 4 π, 24.1282192), (2.85184095 + 6 π, 36.69458981), (2.85184095 + 8 π, 49.26096042)$

Этап 5