Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{x} - 6 x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $e^{x} - 6 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{x} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x} - 6 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$e^{x} - 12 x$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 12 x + e^{x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 12 x + e^{x}$ .

$- 12 x + e^{x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 12 x + e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 12 x + e^{x} = 0$

Этап 2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx 0.09129978, 3.82698356$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $e^{x} - 6 x^{2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0.09129978$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0.09129978$ вместо $x$ .

$e^{0.09129978} - 6 {(0.09129978)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $0.09129978$ в степень $2$ .

$e^{0.09129978} - 6 \cdot 0.00833565$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 6$ на $0.00833565$ .

$e^{0.09129978} - 0.0500139$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $0.0500139$ из $e^{0.09129978}$ .

$1.04558349$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 3.82698356$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $3.82698356$ вместо $x$ .

$e^{3.82698356} - 6 {(3.82698356)}^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $3.82698356$ в степень $2$ .

$e^{3.82698356} - 6 \cdot 14.64580317$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $- 6$ на $14.64580317$ .

$e^{3.82698356} - 87.87481903$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $87.87481903$ из $e^{3.82698356}$ .

$- 41.95101631$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0.09129978, 1.04558349), (3.82698356, - 41.95101631)$

Этап 5