Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \cos (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (2 x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$3 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 \sin (2 x) \cdot 1$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f' (x) = - 6 \sin (2 x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 6 \sin (2 x)$ .

$- 6 \sin (2 x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 6 \sin (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 6 \sin (2 x) = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 6 \sin (2 x) = 0$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 6 \sin (2 x) = 0$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin (2 x)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 \sin (2 x)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 6}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $0$ на $- 6$ .

$\sin (2 x) = 0$

Этап 2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (0)$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 x = 0$

Этап 2.5

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 2.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - 0$

Этап 2.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 x = π + 0$

Этап 2.7.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$2 x = π$

Этап 2.7.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 2.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 2.7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.8

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.8.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.8.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.9

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.10

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $3 \cos (2 x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$3 \cos (2 (0))$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$3 \cos (0)$

Этап 4.1.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{π}{2}$ вместо $x$ .

$3 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \cos (2 \frac{π}{2})$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 \cos (π)$

Этап 4.2.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$3 (- \cos (0))$

Этап 4.2.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.2.4

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 \cdot - 1$

Этап 4.2.2.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0 + π n, 3), (\frac{π}{2} + π n, - 3)$ , для любого целого $n$

Этап 5