Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3 e^{x}}{x^{5}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{5}$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Этап 1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Этап 1.1.3.2

Умножим $5$ на $2$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} (5 x^{4})}{x^{10}}$

Этап 1.1.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Этап 1.1.5.2.2

Объединим $3$ и $\frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{3 (x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (x^{5} e^{x}) + 3 (- 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

Этап 1.1.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Этап 1.1.6.2.2

Изменим порядок множителей в $3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 x^{4} e^{x}}{x^{10}}$

Этап 1.1.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Этап 1.1.6.4

Вынесем множитель $3 e^{x} x^{4}$ из $3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Вынесем множитель $3 e^{x} x^{4}$ из $3 e^{x} x^{5}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Этап 1.1.6.4.2

Вынесем множитель $3 e^{x} x^{4}$ из $- 15 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Этап 1.1.6.4.3

Вынесем множитель $3 e^{x} x^{4}$ из $3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x - 5)}{x^{10}}$

Этап 1.1.6.5

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x^{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $3 e^{x} x^{4} (x - 5)$ .

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{10}}$

Этап 1.1.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.2.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Этап 1.1.6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Этап 1.1.6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 e^{x} (x - 5) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 2.3.2.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.3.2.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.3.2.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.3.3

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 e^{x} (x - 5) = 0$ верно.

$x = 5$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{6} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\pm \sqrt[6]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

$\frac{3 e^{5}}{{(5)}^{5}}$

Этап 4.1.2

Возведем $5$ в степень $5$ .

$\frac{3 e^{5}}{3125}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{3 e^{0}}{{(0)}^{5}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3 e^{0}}{0}$

Этап 4.2.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(5, \frac{3 e^{5}}{3125})$

Этап 5