Математический анализ Примеры

$F (t) = U e^{t} + V e^{- t}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $U e^{t} + V e^{- t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ .

$\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [U e^{t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $U$ является константой относительно $t$ , производная $U e^{t}$ по $t$ равна $U \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$U \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ имеет вид $a^{t} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$U e^{t} + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $V$ является константой относительно $t$ , производная $V e^{- t}$ по $t$ равна $V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$U e^{t} + V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- t$ .

$U e^{t} + V (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$U e^{t} + V (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- t$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} \cdot - 1)$

Этап 1.1.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- t}$ .

$U e^{t} + V (- 1 \cdot e^{- t})$

Этап 1.1.3.7

Перепишем $- 1 e^{- t}$ в виде $- e^{- t}$ .

$U e^{t} + V (- e^{- t})$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$e^{t} U - e^{- t} V$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{t} U - e^{- t} V$ .

$f' (t) = U e^{t} - V e^{- t}$

Этап 1.2

Первая производная $F (t)$ по $t$ равна $U e^{t} - V e^{- t}$ .

$U e^{t} - V e^{- t}$

Этап 2

Пусть первая производная равна $0$ .

$U e^{t} - V e^{- t} = 0$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $t$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены