Математический анализ Примеры

$f (x) = | x^{2} - 16 |$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = x^{2} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Этап 1.1.1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Этап 1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 16$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

Этап 1.1.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

Этап 1.1.2.4.2

Объединим $2$ и $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

Этап 1.1.2.4.3

Объединим $\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ и $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Этап 1.1.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Этап 1.1.3.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Этап 1.1.3.3.2

Умножим $2$ на $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x^{3} - 32 x = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} - 32 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 32 x = 0$

Этап 2.3.1.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 32 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16) = 0$

Этап 2.3.1.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ .

$2 x (x^{2} - 16) = 0$

Этап 2.3.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Этап 2.3.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$2 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Этап 2.3.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Этап 2.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.4

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.3.4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.3.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x + 4) (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, - 4, 4$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x^{2} - 16 | = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 16 = \pm 0$

Этап 3.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x^{2} - 16 = 0$

Этап 3.2.3

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 16$

Этап 3.2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 3.2.5

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 3.2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 3.2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 3.2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 3.2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 3.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Этап 4

Вычислим $| x^{2} - 16 |$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$| {(0)}^{2} - 16 |$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| 0 - 16 |$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$| - 16 |$

Этап 4.1.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 16$ и $0$ равно $16$ .

$16$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 4$ вместо $x$ .

$| {(- 4)}^{2} - 16 |$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$| 16 - 16 |$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$| 0 |$

Этап 4.2.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$0$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$| {(4)}^{2} - 16 |$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| 16 - 16 |$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$| 0 |$

Этап 4.3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$0$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 16), (- 4, 0), (4, 0)$

Этап 5