Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2} \ln (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 1.1.2.5

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2.3

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2.4

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{2}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 7$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 14 x$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 2 (\ln (x) (2 x)) - 14 x$

Этап 1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x + 4 (\ln (x) (x)) - 14 x$

Этап 1.1.4.2.2

Вычтем $14 x$ из $2 x$ .

$4 \ln (x) x - 12 x$

Этап 1.1.4.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 4 x \ln (x) - 12 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x \ln (x) - 12 x$ .

$4 x \ln (x) - 12 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x \ln (x) - 12 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x \ln (x) - 12 x = 0$

Этап 2.2

Добавим $12 x$ к обеим частям уравнения.

$4 x \ln (x) = 12 x$

Этап 2.3

Разделим каждый член $4 x \ln (x) = 12 x$ на $4 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $4 x \ln (x) = 12 x$ на $4 x$ .

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{12 x}{4 x}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Этап 2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 (x)}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Этап 2.3.3.2.2

Разделим $3$ на $1$ .

$\ln (x) = 3$

Этап 2.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{3}$

Этап 2.5

Перепишем $\ln (x) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x$

Этап 2.6

Перепишем уравнение в виде $x = e^{3}$ .

$x = e^{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 3.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 4

Вычислим $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = e^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $e^{3}$ вместо $x$ .

$2 {(e^{3})}^{2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 e^{3 \cdot 2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Этап 4.1.2.1.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$2 e^{6} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $3$ из степени.

$2 e^{6} (3 \ln (e)) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Этап 4.1.2.1.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 e^{6} (3 \cdot 1) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$2 e^{6} \cdot 3 - 7 {(e^{3})}^{2}$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $3$ на $2$ .

$6 e^{6} - 7 {(e^{3})}^{2}$

Этап 4.1.2.1.6

Перемножим экспоненты в ${(e^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 e^{6} - 7 e^{3 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.1.6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$6 e^{6} - 7 e^{6}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $7 e^{6}$ из $6 e^{6}$ .

$- e^{6}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$2 {(0)}^{2} \ln (0) - 7 {(0)}^{2}$

Этап 4.2.2

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(e^{3}, - e^{6})$

Этап 5