Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x - 8 \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $8 x - 8 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $8$ на $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 \cos (x)$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$8 - 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$8 - 8 (- \sin (x))$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f' (x) = 8 + 8 \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 + 8 \sin (x)$ .

$8 + 8 \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 + 8 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 + 8 \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$8 \sin (x) = - 8$

Этап 2.3

Разделим каждый член $8 \sin (x) = - 8$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $8 \sin (x) = - 8$ на $8$ .

$\frac{8 \sin (x)}{8} = \frac{- 8}{8}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \sin (x)}{8} = \frac{- 8}{8}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 8}{8}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 8$ на $8$ .

$\sin (x) = - 1$

Этап 2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 2.6

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 2.7

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 2.7.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.8

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.9

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 2.9.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.9.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 2.9.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.10

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.11

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $8 x - 8 \cos (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{3 π}{2}$ вместо $x$ .

$8 (\frac{3 π}{2}) - 8 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{3 π}{2} - 8 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.1.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{3 π}{2} - 8 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.1.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 (3 π) - 8 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$12 π - 8 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.1.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$12 π - 8 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 4.1.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$12 π - 8 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- 8$ на $0$ .

$12 π + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $12 π$ и $0$ .

$12 π$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{7 π}{2}$ вместо $x$ .

$8 (\frac{7 π}{2}) - 8 \cos (\frac{7 π}{2})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{7 π}{2} - 8 \cos (\frac{7 π}{2})$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{7 π}{2} - 8 \cos (\frac{7 π}{2})$

Этап 4.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 (7 π) - 8 \cos (\frac{7 π}{2})$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $7$ на $4$ .

$28 π - 8 \cos (\frac{7 π}{2})$

Этап 4.2.2.1.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$28 π - 8 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.2.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$28 π - 8 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 4.2.2.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$28 π - 8 \cdot 0$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $- 8$ на $0$ .

$28 π + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $28 π$ и $0$ .

$28 π$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{11 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{11 π}{2}$ вместо $x$ .

$8 (\frac{11 π}{2}) - 8 \cos (\frac{11 π}{2})$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{11 π}{2} - 8 \cos (\frac{11 π}{2})$

Этап 4.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{11 π}{2} - 8 \cos (\frac{11 π}{2})$

Этап 4.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 (11 π) - 8 \cos (\frac{11 π}{2})$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $11$ на $4$ .

$44 π - 8 \cos (\frac{11 π}{2})$

Этап 4.3.2.1.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$44 π - 8 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.3.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$44 π - 8 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 4.3.2.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$44 π - 8 \cdot 0$

Этап 4.3.2.1.6

Умножим $- 8$ на $0$ .

$44 π + 0$

Этап 4.3.2.2

Добавим $44 π$ и $0$ .

$44 π$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = \frac{15 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $\frac{15 π}{2}$ вместо $x$ .

$8 (\frac{15 π}{2}) - 8 \cos (\frac{15 π}{2})$

Этап 4.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{15 π}{2} - 8 \cos (\frac{15 π}{2})$

Этап 4.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{15 π}{2} - 8 \cos (\frac{15 π}{2})$

Этап 4.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 (15 π) - 8 \cos (\frac{15 π}{2})$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $15$ на $4$ .

$60 π - 8 \cos (\frac{15 π}{2})$

Этап 4.4.2.1.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$60 π - 8 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.4.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$60 π - 8 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 4.4.2.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$60 π - 8 \cdot 0$

Этап 4.4.2.1.6

Умножим $- 8$ на $0$ .

$60 π + 0$

Этап 4.4.2.2

Добавим $60 π$ и $0$ .

$60 π$

Этап 4.5

Найдем значение в $x = \frac{19 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим $\frac{19 π}{2}$ вместо $x$ .

$8 (\frac{19 π}{2}) - 8 \cos (\frac{19 π}{2})$

Этап 4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{19 π}{2} - 8 \cos (\frac{19 π}{2})$

Этап 4.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{19 π}{2} - 8 \cos (\frac{19 π}{2})$

Этап 4.5.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 (19 π) - 8 \cos (\frac{19 π}{2})$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим $19$ на $4$ .

$76 π - 8 \cos (\frac{19 π}{2})$

Этап 4.5.2.1.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$76 π - 8 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.5.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$76 π - 8 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 4.5.2.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$76 π - 8 \cdot 0$

Этап 4.5.2.1.6

Умножим $- 8$ на $0$ .

$76 π + 0$

Этап 4.5.2.2

Добавим $76 π$ и $0$ .

$76 π$

Этап 4.6

Перечислим все точки.

$(\frac{3 π}{2}, 12 π), (\frac{7 π}{2}, 28 π), (\frac{11 π}{2}, 44 π), (\frac{15 π}{2}, 60 π), (\frac{19 π}{2}, 76 π)$

Этап 5