Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} + 10 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 10 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 10 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 10 \cdot 1$

Этап 1.1.2.3

Умножим $10$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 10$ .

$3 x^{2} + 10$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 10 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 10 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} = - 10$

Этап 2.3

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 10$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 10$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 10}{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 10}{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 10}{3}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{10}{3}$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{10}{3}}$

Этап 2.5

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{10}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{10}{3}}$

Этап 2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{10}{3}}$

Этап 2.5.3

Перепишем $\sqrt{\frac{10}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.5.4

Умножим $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 2.5.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.5.5.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.5.5.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.5.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.5.5.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.5.5.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm i \frac{\sqrt{10 \cdot 3}}{3}$

Этап 2.5.6.2

Умножим $10$ на $3$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{30}}{3}$

Этап 2.5.7

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{30}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{30}}{3}$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{3}$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{30}}{3}$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{3}, - \frac{i \sqrt{30}}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены