Математический анализ Примеры

$f (x) = \sec (\frac{π x}{4})$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \frac{π x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Этап 1.1.1.2

Производная $\sec (u)$ по $u$ равна $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Этап 1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π x}{4}$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{π}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π x}{4}$ по $x$ равна $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Объединим $\frac{π}{4}$ и $\sec (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4} \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.2.2

Объединим $\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4}$ и $\tan (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \cdot 1$

Этап 1.1.2.4

Умножим $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $\sec (\frac{π x}{4})$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $\sec (\frac{π x}{4})$ к $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

Этап 2.3.2.2

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 2.3.3

Приравняем $\tan (\frac{π x}{4})$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $\tan (\frac{π x}{4})$ к $0$ .

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $\tan (\frac{π x}{4}) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$\frac{π x}{4} = \arctan (0)$

Этап 2.3.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$\frac{π x}{4} = 0$

Этап 2.3.3.2.3

Приравняем числитель к нулю.

$π x = 0$

Этап 2.3.3.2.4

Разделим каждый член $π x = 0$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1

Разделим каждый член $π x = 0$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 2.3.3.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 2.3.3.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Этап 2.3.3.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.3.1

Разделим $0$ на $π$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3.2.5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{π x}{4} = π + 0$

Этап 2.3.3.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.6.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Этап 2.3.3.2.6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.6.2.1.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.6.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.6.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Этап 2.3.3.2.6.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Этап 2.3.3.2.6.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.6.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Этап 2.3.3.2.6.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Этап 2.3.3.2.6.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{π} (π + 0)$

Этап 2.3.3.2.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.6.2.2.1

Упростим $\frac{4}{π} (π + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.6.2.2.1.1

Добавим $π$ и $0$ .

$x = \frac{4}{π} π$

Этап 2.3.3.2.6.2.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.6.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4}{π} π$

Этап 2.3.3.2.6.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = 4$

Этап 2.3.3.2.7

Найдем период $\tan (\frac{π x}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.3.3.2.7.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{4}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{π}{4} |}$

Этап 2.3.3.2.7.3

$\frac{π}{4}$ приблизительно равно $0.78539816$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{π}{4}}$

Этап 2.3.3.2.7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \frac{4}{π}$

Этап 2.3.3.2.7.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.7.5.1

Сократим общий множитель.

$π \frac{4}{π}$

Этап 2.3.3.2.7.5.2

Перепишем это выражение.

$4$

Этап 2.3.3.2.8

Период функции $\tan (\frac{π x}{4})$ равен $4$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4$ рад. в обоих направлениях.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , для любого целого $n$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$ верно.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , для любого целого $n$

Этап 2.4

Объединим ответы.

$x = 4 n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\sec (\frac{π x}{4})$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 3.2.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 3.2.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 3.2.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 3.2.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Упростим $\frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Этап 3.2.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Этап 3.2.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Этап 3.2.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Этап 3.2.2.2.1.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Этап 3.2.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Этап 3.2.2.2.1.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $π$ из $π n$ .

$x = 2 + \frac{4}{π} (π (n))$

Этап 3.2.2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Этап 3.2.2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$x = 2 + 4 n$

Этап 3.2.3

Изменим порядок $2$ и $4 n$ .

$x = 4 n + 2$

Этап 3.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = 4 n + 2}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 4

Вычислим $\sec (\frac{π x}{4})$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sec (\frac{π (0)}{4})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $π (0)$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4})$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 (1)})$

Этап 4.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

Этап 4.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sec (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Этап 4.1.2.1.2.4

Разделим $π \cdot (0)$ на $1$ .

$\sec (π \cdot (0))$

Этап 4.1.2.2

Умножим $π$ на $0$ .

$\sec (0)$

Этап 4.1.2.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$1$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$\sec (\frac{π (4)}{4})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\sec (\frac{π \cdot 4}{4})$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$\sec (π)$

Этап 4.2.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$- \sec (0)$

Этап 4.2.2.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.2.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0 + 8 n, 1), (4 + 8 n, - 1)$ , для любого целого $n$

Этап 5