Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $12$ .

$9 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $16$ на $1$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $9 x^{2} + 24 x + 16$ и $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 24 x + 16$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $9 x^{2} + 24 x + 16$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $9 x^{2} + 24 x + 16 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

${(3 x)}^{2} + 24 x + 16 = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

${(3 x)}^{2} + 24 x + 4^{2} = 0$

Этап 2.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$24 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 4$

Этап 2.2.4

Перепишем многочлен.

${(3 x)}^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Этап 2.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 3 x$ и $b = 4$ .

${(3 x + 4)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Этап 2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 4$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{4}{3}$ вместо $x$ .

$3 {(- \frac{4}{3})}^{3} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$3 (- \frac{4^{3}}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$3 (- \frac{64}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$3 (- \frac{64}{27}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{64}{27}$ в числитель.

$3 (\frac{- 64}{27}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$3 \frac{- 64}{3 (9)} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$3 \frac{- 64}{3 \cdot 9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 64}{9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{64}{9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + 12 ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 (1 \frac{4^{2}}{3^{2}}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.9

Умножим $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$- \frac{64}{9} + 12 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.10

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 \frac{16}{3^{2}} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 (\frac{16}{9}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.12.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$- \frac{64}{9} + 3 (4) \frac{16}{9} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.12.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$- \frac{64}{9} + 3 \cdot 4 \frac{16}{3 \cdot 3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.12.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{64}{9} + 3 \cdot 4 \frac{16}{3 \cdot 3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.12.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{64}{9} + 4 (\frac{16}{3}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.13

Объединим $4$ и $\frac{16}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{4 \cdot 16}{3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.14

Умножим $4$ на $16$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.15

Умножим $16 (- \frac{4}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.15.1

Умножим $- 1$ на $16$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} - 16 (\frac{4}{3}) - 5$

Этап 4.1.2.1.15.2

Объединим $- 16$ и $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + \frac{- 16 \cdot 4}{3} - 5$

Этап 4.1.2.1.15.3

Умножим $- 16$ на $4$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + \frac{- 64}{3} - 5$

Этап 4.1.2.1.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} - \frac{64}{3} - 5$

Этап 4.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 5 + \frac{- 64}{9} + \frac{64 - 64}{3}$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $64$ из $64$ .

$- 5 + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Этап 4.1.2.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Запишем $- 5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 5}{1} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- 5}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Этап 4.1.2.3.3

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Этап 4.1.2.3.4

Умножим $\frac{0}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.1.2.3.5

Умножим $\frac{0}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Этап 4.1.2.3.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0 \cdot 3}{9}$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 5 \cdot 9 - 64 + 0 \cdot 3}{9}$

Этап 4.1.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $- 5$ на $9$ .

$\frac{- 45 - 64 + 0 \cdot 3}{9}$

Этап 4.1.2.5.2

Умножим $0$ на $3$ .

$\frac{- 45 - 64 + 0}{9}$

Этап 4.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Вычтем $64$ из $- 45$ .

$\frac{- 109 + 0}{9}$

Этап 4.1.2.6.2

Добавим $- 109$ и $0$ .

$\frac{- 109}{9}$

Этап 4.1.2.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{109}{9}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(- \frac{4}{3}, - \frac{109}{9})$

Этап 5