Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Этап 1.1.1.2

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 1.1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 1.1.4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Этап 1.1.4.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} - e^{- x})$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} e^{x} + \frac{1}{4} (- e^{- x})$

Этап 1.1.5.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} e^{x} - \frac{e^{- x}}{4}$

Этап 1.1.5.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$ .

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$

Этап 2.2

Перенесем $- \frac{e^{- x}}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$\frac{e^{x}}{4} = \frac{e^{- x}}{4}$

Этап 2.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$e^{x} = e^{- x}$

Этап 2.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = - x$

Этап 2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x + x = 0$

Этап 2.5.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x = 0$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{4}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 + e^{- (0)}}{4}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1 + e^{0}}{4}$

Этап 4.1.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 + 1}{4}$

Этап 4.1.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{4}$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Этап 4.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(0, \frac{1}{2})$

Этап 5