Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Этап 1

Изменим двусторонний предел на левосторонний.

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{1 - e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty^{-}} 1 - e^{x}}{lim_{x \to \infty^{-}} 1 + 2 e^{x}}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty^{-}} 1 - lim_{x \to \infty^{-}} e^{x}}{lim_{x \to \infty^{-}} 1 + 2 e^{x}}$

Этап 2.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty^{-}} e^{x}}{lim_{x \to \infty^{-}} 1 + 2 e^{x}}$

Этап 2.1.2.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty^{-}} 1 + 2 e^{x}}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty^{-}} 1 + 2 e^{x}}$

Этап 2.1.2.3.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty^{-}} 1 + 2 e^{x}}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty^{-}} 1 + lim_{x \to \infty^{-}} 2 e^{x}}$

Этап 2.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{- \infty}{1 + lim_{x \to \infty^{-}} 2 e^{x}}$

Этап 2.1.3.2

Поскольку функция $e^{x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $2$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $2$ .

$\frac{- \infty}{1 + lim_{x \to \infty^{-}} e^{x}}$

Этап 2.1.3.2.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{- \infty}{1 + \infty}$

Этап 2.1.3.3

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 2.1.3.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{1 - e^{x}}{1 + 2 e^{x}} = lim_{x \to \infty^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 + 2 e^{x}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 + 2 e^{x}]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $1 - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 + 2 e^{x}]}$

Этап 2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 + 2 e^{x}]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 + 2 e^{x}]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [1 + 2 e^{x}]}$

Этап 2.3.5

Вычтем $e^{x}$ из $0$ .

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [1 + 2 e^{x}]}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $1 + 2 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]}$

Этап 2.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{- e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]}$

Этап 2.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{- e^{x}}{0 + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 2.3.8.2

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{- e^{x}}{0 + 2 e^{x}}$

Этап 2.3.9

Добавим $0$ и $2 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{- e^{x}}{2 e^{x}}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{- e^{x}}{2 e^{x}}$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty^{-}} \frac{- 1}{2}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $\frac{- 1}{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{- 1}{2}$

Этап 3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$