Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 + \sqrt{5 + 8 x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 + \sqrt{5 + 8 x}$ в виде уравнения.

$y = 2 + \sqrt{5 + 8 x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 + \sqrt{5 + 8 y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 + \sqrt{5 + 8 y} = x$ .

$2 + \sqrt{5 + 8 y} = x$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{5 + 8 y} = x - 2$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 + 8 y}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 + 8 y}$ в виде ${(5 + 8 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 + 8 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${({(5 + 8 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 + 8 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 + 8 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 + 8 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 + 8 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$5 + 8 y = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$5 + 8 y = (x - 2) (x - 2)$

Этап 3.4.3.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 + 8 y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Этап 3.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 + 8 y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Этап 3.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 + 8 y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 3.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$5 + 8 y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 3.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$5 + 8 y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 3.4.3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$5 + 8 y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Этап 3.4.3.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$5 + 8 y = x^{2} - 4 x + 4$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$8 y = x^{2} - 4 x + 4 - 5$

Этап 3.5.1.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$8 y = x^{2} - 4 x - 1$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $8 y = x^{2} - 4 x - 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $8 y = x^{2} - 4 x - 1$ на $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 4 x}{8} + \frac{- 1}{8}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 4 x}{8} + \frac{- 1}{8}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 4 x}{8} + \frac{- 1}{8}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{4 (- x)}{8} + \frac{- 1}{8}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{4 (- x)}{4 (2)} + \frac{- 1}{8}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{4 (- x)}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{8}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- x}{2} + \frac{- 1}{8}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{8}$

Этап 3.5.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}$ обратной к $f (x) = 2 + \sqrt{5 + 8 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{{(2 + \sqrt{5 + 8 x})}^{2}}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем ${(2 + \sqrt{5 + 8 x})}^{2}$ в виде $(2 + \sqrt{5 + 8 x}) (2 + \sqrt{5 + 8 x})$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{(2 + \sqrt{5 + 8 x}) (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.2

Развернем $(2 + \sqrt{5 + 8 x}) (2 + \sqrt{5 + 8 x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 (2 + \sqrt{5 + 8 x}) + \sqrt{5 + 8 x} (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + \sqrt{5 + 8 x} (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + \sqrt{5 + 8 x} \cdot 2 + \sqrt{5 + 8 x} \sqrt{5 + 8 x}}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + \sqrt{5 + 8 x} \cdot 2 + \sqrt{5 + 8 x} \sqrt{5 + 8 x}}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{5 + 8 x}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 2 \sqrt{5 + 8 x} + \sqrt{5 + 8 x} \sqrt{5 + 8 x}}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.3.1.3

Умножим $\sqrt{5 + 8 x} \sqrt{5 + 8 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{5 + 8 x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 2 \sqrt{5 + 8 x} + \sqrt{5 + 8 x} \sqrt{5 + 8 x}}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.3.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 2 \sqrt{5 + 8 x} + {\sqrt{5 + 8 x}}^{1 + 1}}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.3.1.3.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 2 \sqrt{5 + 8 x} + {\sqrt{5 + 8 x}}^{2}}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{5 + 8 x}}^{2}$ в виде $5 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 + 8 x}$ в виде ${(5 + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 2 \sqrt{5 + 8 x} + {({(5 + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 2 \sqrt{5 + 8 x} + {(5 + 8 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 2 \sqrt{5 + 8 x} + {(5 + 8 x)}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 2 \sqrt{5 + 8 x} + {(5 + 8 x)}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 5 + 8 x}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.3.1.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 5 + 8 x}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.3.2

Добавим $4$ и $5$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{9 + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 2 \sqrt{5 + 8 x} + 8 x}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.3.3

Добавим $2 \sqrt{5 + 8 x}$ и $2 \sqrt{5 + 8 x}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{9 + 4 \sqrt{5 + 8 x} + 8 x}{8} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{9 + 4 \sqrt{5 + 8 x} + 8 x - 1}{8} + \frac{- (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Вычтем $1$ из $9$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{8 + 4 \sqrt{5 + 8 x} + 8 x}{8} + \frac{- (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Изменим порядок $5$ и $8 x$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{8 + 4 \sqrt{8 x + 5} + 8 x}{8} + \frac{- (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.4.2.3

Перенесем $4 \sqrt{8 x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{8 + 8 x + 4 \sqrt{8 x + 5}}{8} + \frac{- (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.4.2.4

Изменим порядок $8$ и $8 x$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{8 x + 8 + 4 \sqrt{8 x + 5}}{8} + \frac{- (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель $8 x + 8 + 4 \sqrt{8 x + 5}$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 (2 x) + 8 + 4 \sqrt{8 x + 5}}{8} + \frac{- (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 (2 x) + 4 \cdot 2 + 4 \sqrt{8 x + 5}}{8} + \frac{- (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x) + 4 (2)$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 (2 x + 2) + 4 \sqrt{8 x + 5}}{8} + \frac{- (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{8 x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 (2 x + 2) + 4 (\sqrt{8 x + 5})}{8} + \frac{- (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.5.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x + 2) + 4 (\sqrt{8 x + 5})$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 (2 x + 2 + \sqrt{8 x + 5})}{8} + \frac{- (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.5.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 (2 x + 2 + \sqrt{8 x + 5})}{4 (2)} + \frac{- (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.5.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{4 (2 x + 2 + \sqrt{8 x + 5})}{4 \cdot 2} + \frac{- (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.5.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 x + 2 + \sqrt{8 x + 5}}{2} + \frac{- (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 x + 2 + \sqrt{8 x + 5}}{2} - \frac{2 + \sqrt{5 + 8 x}}{2}$

Этап 5.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 x + 2 + \sqrt{8 x + 5} - (2 + \sqrt{5 + 8 x})}{2}$

Этап 5.2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 x + 2 + \sqrt{8 x + 5} - 1 \cdot 2 - \sqrt{5 + 8 x}}{2}$

Этап 5.2.7.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 x + 2 + \sqrt{8 x + 5} - 2 - \sqrt{5 + 8 x}}{2}$

Этап 5.2.8

Объединим противоположные члены в $2 x + 2 + \sqrt{8 x + 5} - 2 - \sqrt{5 + 8 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 x + 0 + \sqrt{8 x + 5} - \sqrt{5 + 8 x}}{2}$

Этап 5.2.8.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 x + \sqrt{8 x + 5} - \sqrt{5 + 8 x}}{2}$

Этап 5.2.9

Вычтем $\sqrt{5 + 8 x}$ из $\sqrt{8 x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Изменим порядок $5$ и $8 x$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 x + \sqrt{8 x + 5} - \sqrt{8 x + 5}}{2}$

Этап 5.2.9.2

Вычтем $\sqrt{8 x + 5}$ из $\sqrt{8 x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.2.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.11.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{5 + 8 x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{5 + 8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8})}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{5 + 8 (\frac{x^{2}}{8}) + 8 (- \frac{x}{2}) + 8 (- \frac{1}{8})}$

Этап 5.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{5 + 8 (\frac{x^{2}}{8}) + 8 (- \frac{x}{2}) + 8 (- \frac{1}{8})}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{5 + x^{2} + 8 (- \frac{x}{2}) + 8 (- \frac{1}{8})}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{2}$ в числитель.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{5 + x^{2} + 8 (\frac{- x}{2}) + 8 (- \frac{1}{8})}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{5 + x^{2} + 2 (4) (\frac{- x}{2}) + 8 (- \frac{1}{8})}$

Этап 5.3.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{5 + x^{2} + 2 \cdot (4 (\frac{- x}{2})) + 8 (- \frac{1}{8})}$

Этап 5.3.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{5 + x^{2} + 4 (- x) + 8 (- \frac{1}{8})}$

Этап 5.3.3.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{5 + x^{2} - 4 x + 8 (- \frac{1}{8})}$

Этап 5.3.3.2.4

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{5 + x^{2} - 4 x + 8 (\frac{- 1}{8})}$

Этап 5.3.3.2.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{5 + x^{2} - 4 x + 8 (\frac{- 1}{8})}$

Этап 5.3.3.2.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{5 + x^{2} - 4 x - 1}$

Этап 5.3.3.3

Вычтем $1$ из $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 5.3.3.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Этап 5.3.3.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем многочлен.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Этап 5.3.3.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 5.3.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = 2 + x - 2$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $2 + x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}$ — обратная к $f (x) = 2 + \sqrt{5 + 8 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{2} - \frac{1}{8}$