Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ $x \geq 2$

Этап 1

Найдем множество значений заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

$[1, \infty)$

Этап 1.2

Преобразуем $[1, \infty)$ в неравенство.

$y \geq 1$

Этап 2

Найдем обратную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поменяем переменные местами.

$x = y^{2} - 4 y + 5$

Этап 2.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} - 4 y + 5 = x$ .

$y^{2} - 4 y + 5 = x$

Этап 2.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 4 y + 5 - x = 0$

Этап 2.2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 5 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $5 - x$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.3

Добавим $- 4$ и $5$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.4

Перепишем $- 4 (1 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.4.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.4.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1^{2} - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$

Этап 2.2.5.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Этап 2.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.2

Умножим $5 - x$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.3

Добавим $- 4$ и $5$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.4

Перепишем $- 4 (1 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.4.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.4.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1^{2} - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$

Этап 2.2.6.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Этап 2.2.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Этап 2.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.2

Умножим $5 - x$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.3

Добавим $- 4$ и $5$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.4

Перепишем $- 4 (1 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.4.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.4.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1^{2} - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$

Этап 2.2.7.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Этап 2.2.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Этап 2.2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (1 - x)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Этап 2.3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Этап 3

Найдем обратную функцию, используя область определения и множество значений исходной функции.

$f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}, x \geq 1$

Этап 4