Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} {(x - 10)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x - 10)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 10)}^{3}] + {(x - 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 10$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 10]) + {(x - 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 10]) + {(x - 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 10$ .

$x^{2} (3 {(x - 10)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 10]) + {(x - 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$x^{2} (3 {(x - 10)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])) + {(x - 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (3 {(x - 10)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 10])) + {(x - 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (3 {(x - 10)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{2} (3 {(x - 10)}^{2} \cdot 1) + {(x - 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$x^{2} (3 {(x - 10)}^{2}) + {(x - 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (3 {(x - 10)}^{2}) + {(x - 10)}^{3} (2 x)$

Этап 1.1.3.6

Перенесем $2$ влево от ${(x - 10)}^{3}$ .

$x^{2} (3 {(x - 10)}^{2}) + 2 \cdot {(x - 10)}^{3} x$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Вынесем множитель $x {(x - 10)}^{2}$ из $x^{2} (3 {(x - 10)}^{2}) + 2 {(x - 10)}^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Вынесем множитель $x {(x - 10)}^{2}$ из $x^{2} (3 {(x - 10)}^{2})$ .

$x {(x - 10)}^{2} (x \cdot (3)) + 2 {(x - 10)}^{3} x$

Этап 1.1.4.1.2

Вынесем множитель $x {(x - 10)}^{2}$ из $2 {(x - 10)}^{3} x$ .

$x {(x - 10)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 10)}^{2} (2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.1.3

Вынесем множитель $x {(x - 10)}^{2}$ из $x {(x - 10)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 10)}^{2} (2 (x - 10))$ .

$x {(x - 10)}^{2} (x \cdot (3) + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x {(x - 10)}^{2} (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.3

Перепишем ${(x - 10)}^{2}$ в виде $(x - 10) (x - 10)$ .

$x ((x - 10) (x - 10)) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.4

Развернем $(x - 10) (x - 10)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x (x - 10) - 10 (x - 10)) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.5.1.2

Перенесем $- 10$ влево от $x$ .

$x (x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.5.1.3

Умножим $- 10$ на $- 10$ .

$x (x^{2} - 10 x - 10 x + 100) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.5.2

Вычтем $10 x$ из $- 10 x$ .

$x (x^{2} - 20 x + 100) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 100) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 100) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.7.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{1 + 2} + x (- 20 x) + x \cdot 100) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.7.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(x^{3} + x (- 20 x) + x \cdot 100) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x^{3} - 20 x \cdot x + x \cdot 100) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.7.3

Перенесем $100$ влево от $x$ .

$(x^{3} - 20 x \cdot x + 100 \cdot x) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.1

Перенесем $x$ .

$(x^{3} - 20 (x \cdot x) + 100 \cdot x) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{3} - 20 x^{2} + 100 \cdot x) (3 x + 2 (x - 10))$

$(x^{3} - 20 x^{2} + 100 x) (3 x + 2 (x - 10))$

Этап 1.1.4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} - 20 x^{2} + 100 x) (3 x + 2 x + 2 \cdot - 10)$

Этап 1.1.4.9.2

Умножим $2$ на $- 10$ .

$(x^{3} - 20 x^{2} + 100 x) (3 x + 2 x - 20)$

Этап 1.1.4.10

Добавим $3 x$ и $2 x$ .

$(x^{3} - 20 x^{2} + 100 x) (5 x - 20)$

Этап 1.1.4.11

Развернем $(x^{3} - 20 x^{2} + 100 x) (5 x - 20)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot - 20 - 20 x^{2} (5 x) - 20 x^{2} \cdot - 20 + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{3} x + x^{3} \cdot - 20 - 20 x^{2} (5 x) - 20 x^{2} \cdot - 20 + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.2.1

Перенесем $x$ .

$5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 20 - 20 x^{2} (5 x) - 20 x^{2} \cdot - 20 + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 20 - 20 x^{2} (5 x) - 20 x^{2} \cdot - 20 + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 20 - 20 x^{2} (5 x) - 20 x^{2} \cdot - 20 + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$5 x^{4} + x^{3} \cdot - 20 - 20 x^{2} (5 x) - 20 x^{2} \cdot - 20 + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.3

Перенесем $- 20$ влево от $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 20 \cdot x^{3} - 20 x^{2} (5 x) - 20 x^{2} \cdot - 20 + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 \cdot 5 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot - 20 + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.5.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 \cdot 5 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot - 20 + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 \cdot 5 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot - 20 + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 \cdot 5 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot - 20 + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 \cdot 5 x^{3} - 20 x^{2} \cdot - 20 + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.6

Умножим $- 20$ на $5$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 100 x^{3} - 20 x^{2} \cdot - 20 + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.7

Умножим $- 20$ на $- 20$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 100 x^{3} + 400 x^{2} + 100 x (5 x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 100 x^{3} + 400 x^{2} + 100 \cdot 5 x \cdot x + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.9

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.9.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 100 x^{3} + 400 x^{2} + 100 \cdot 5 (x \cdot x) + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.9.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 100 x^{3} + 400 x^{2} + 100 \cdot 5 x^{2} + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.10

Умножим $100$ на $5$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 100 x^{3} + 400 x^{2} + 500 x^{2} + 100 x \cdot - 20$

Этап 1.1.4.12.11

Умножим $- 20$ на $100$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 100 x^{3} + 400 x^{2} + 500 x^{2} - 2000 x$

Этап 1.1.4.13

Вычтем $100 x^{3}$ из $- 20 x^{3}$ .

$5 x^{4} - 120 x^{3} + 400 x^{2} + 500 x^{2} - 2000 x$

Этап 1.1.4.14

Добавим $400 x^{2}$ и $500 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 120 x^{3} + 900 x^{2} - 2000 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 x^{4} - 120 x^{3} + 900 x^{2} - 2000 x$ .

$5 x^{4} - 120 x^{3} + 900 x^{2} - 2000 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 x^{4} - 120 x^{3} + 900 x^{2} - 2000 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5 x^{4} - 120 x^{3} + 900 x^{2} - 2000 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x^{4} - 120 x^{3} + 900 x^{2} - 2000 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x^{4}$ .

$5 x (x^{3}) - 120 x^{3} + 900 x^{2} - 2000 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $5 x$ из $- 120 x^{3}$ .

$5 x (x^{3}) + 5 x (- 24 x^{2}) + 900 x^{2} - 2000 x = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $5 x$ из $900 x^{2}$ .

$5 x (x^{3}) + 5 x (- 24 x^{2}) + 5 x (180 x) - 2000 x = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $5 x$ из $- 2000 x$ .

$5 x (x^{3}) + 5 x (- 24 x^{2}) + 5 x (180 x) + 5 x (- 400) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (x^{3}) + 5 x (- 24 x^{2})$ .

$5 x (x^{3} - 24 x^{2}) + 5 x (180 x) + 5 x (- 400) = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (x^{3} - 24 x^{2}) + 5 x (180 x)$ .

$5 x (x^{3} - 24 x^{2} + 180 x) + 5 x (- 400) = 0$

Этап 2.2.1.7

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (x^{3} - 24 x^{2} + 180 x) + 5 x (- 400)$ .

$5 x (x^{3} - 24 x^{2} + 180 x - 400) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим $x^{3} - 24 x^{2} + 180 x - 400$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 400, \pm 2, \pm 200, \pm 4, \pm 100, \pm 5, \pm 80, \pm 8, \pm 50, \pm 10, \pm 40, \pm 16, \pm 25, \pm 20$

$q = \pm 1$

Этап 2.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 400, \pm 2, \pm 200, \pm 4, \pm 100, \pm 5, \pm 80, \pm 8, \pm 50, \pm 10, \pm 40, \pm 16, \pm 25, \pm 20$

Этап 2.2.2.3

Подставим $4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Подставим $4$ в многочлен.

$4^{3} - 24 \cdot 4^{2} + 180 \cdot 4 - 400$

Этап 2.2.2.3.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$64 - 24 \cdot 4^{2} + 180 \cdot 4 - 400$

Этап 2.2.2.3.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$64 - 24 \cdot 16 + 180 \cdot 4 - 400$

Этап 2.2.2.3.4

Умножим $- 24$ на $16$ .

$64 - 384 + 180 \cdot 4 - 400$

Этап 2.2.2.3.5

Вычтем $384$ из $64$ .

$- 320 + 180 \cdot 4 - 400$

Этап 2.2.2.3.6

Умножим $180$ на $4$ .

$- 320 + 720 - 400$

Этап 2.2.2.3.7

Добавим $- 320$ и $720$ .

$400 - 400$

Этап 2.2.2.3.8

Вычтем $400$ из $400$ .

$0$

Этап 2.2.2.4

Поскольку $4$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 24 x^{2} + 180 x - 400}{x - 4}$

Этап 2.2.2.5

Разделим $x^{3} - 24 x^{2} + 180 x - 400$ на $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$24 x^{2}$

$180 x$

$400$

Этап 2.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$

Этап 2.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 2.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 2.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$

Этап 2.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$180 x$

Этап 2.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 20 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$20 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$180 x$

Этап 2.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$20 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$180 x$
					-	$20 x^{2}$	+	$80 x$

Этап 2.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 20 x^{2} + 80 x$ .

				$x^{2}$	-	$20 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$180 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$80 x$

Этап 2.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$20 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$180 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$80 x$
							+	$100 x$

Этап 2.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$20 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$180 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$80 x$
							+	$100 x$	-	$400$

Этап 2.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $100 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$20 x$	+	$100$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$180 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$80 x$
							+	$100 x$	-	$400$

Этап 2.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$20 x$	+	$100$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$180 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$80 x$
							+	$100 x$	-	$400$
							+	$100 x$	-	$400$

Этап 2.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $100 x - 400$ .

				$x^{2}$	-	$20 x$	+	$100$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$180 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$80 x$
							+	$100 x$	-	$400$
							-	$100 x$	+	$400$

Этап 2.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$20 x$	+	$100$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$180 x$	-	$400$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$180 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$80 x$
							+	$100 x$	-	$400$
							-	$100 x$	+	$400$
										$0$

Этап 2.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 20 x + 100$

Этап 2.2.2.6

Запишем $x^{3} - 24 x^{2} + 180 x - 400$ в виде набора множителей.

$5 x ((x - 4) (x^{2} - 20 x + 100)) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$5 x ((x - 4) (x^{2} - 20 x + 10^{2})) = 0$

Этап 2.2.3.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$20 x = 2 \cdot x \cdot 10$

Этап 2.2.3.1.3

Перепишем многочлен.

$5 x ((x - 4) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^{2})) = 0$

Этап 2.2.3.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 10$ .

$5 x ((x - 4) {(x - 10)}^{2}) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$5 x (x - 4) {(x - 10)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

${(x - 10)}^{2} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.6

Приравняем ${(x - 10)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем ${(x - 10)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

Этап 2.6.2

Решим ${(x - 10)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 2.6.2.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $5 x (x - 4) {(x - 10)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, 4, 10$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 4, 10$ .

$0, 4, 10$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, 10) \cup (10, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} - 120 {(- 1)}^{3} + 900 {(- 1)}^{2} - 2000 \cdot - 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f' (- 1) = 5 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{3} + 900 {(- 1)}^{2} - 2000 \cdot - 1$

Этап 5.2.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (- 1) = 5 - 120 {(- 1)}^{3} + 900 {(- 1)}^{2} - 2000 \cdot - 1$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = 5 - 120 \cdot - 1 + 900 {(- 1)}^{2} - 2000 \cdot - 1$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 120$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 5 + 120 + 900 {(- 1)}^{2} - 2000 \cdot - 1$

Этап 5.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = 5 + 120 + 900 \cdot 1 - 2000 \cdot - 1$

Этап 5.2.1.6

Умножим $900$ на $1$ .

$f' (- 1) = 5 + 120 + 900 - 2000 \cdot - 1$

Этап 5.2.1.7

Умножим $- 2000$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 5 + 120 + 900 + 2000$

Этап 5.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $5$ и $120$ .

$f' (- 1) = 125 + 900 + 2000$

Этап 5.2.2.2

Добавим $125$ и $900$ .

$f' (- 1) = 1025 + 2000$

Этап 5.2.2.3

Добавим $1025$ и $2000$ .

$f' (- 1) = 3025$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $3025$ .

$3025$

Этап 5.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $3025$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, 4)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 5 {(2)}^{4} - 120 {(2)}^{3} + 900 {(2)}^{2} - 2000 \cdot 2$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (2) = 5 \cdot 16 - 120 {(2)}^{3} + 900 {(2)}^{2} - 2000 \cdot 2$

Этап 6.2.1.2

Умножим $5$ на $16$ .

$f' (2) = 80 - 120 {(2)}^{3} + 900 {(2)}^{2} - 2000 \cdot 2$

Этап 6.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 80 - 120 \cdot 8 + 900 {(2)}^{2} - 2000 \cdot 2$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 120$ на $8$ .

$f' (2) = 80 - 960 + 900 {(2)}^{2} - 2000 \cdot 2$

Этап 6.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 80 - 960 + 900 \cdot 4 - 2000 \cdot 2$

Этап 6.2.1.6

Умножим $900$ на $4$ .

$f' (2) = 80 - 960 + 3600 - 2000 \cdot 2$

Этап 6.2.1.7

Умножим $- 2000$ на $2$ .

$f' (2) = 80 - 960 + 3600 - 4000$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $960$ из $80$ .

$f' (2) = - 880 + 3600 - 4000$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 880$ и $3600$ .

$f' (2) = 2720 - 4000$

Этап 6.2.2.3

Вычтем $4000$ из $2720$ .

$f' (2) = - 1280$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 1280$ .

$- 1280$

Этап 6.3

При $x = 2$ производная имеет вид $- 1280$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 4)$ .

Убывание на $(0, 4)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(4, 10)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = 5 {(7)}^{4} - 120 {(7)}^{3} + 900 {(7)}^{2} - 2000 \cdot 7$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $7$ в степень $4$ .

$f' (7) = 5 \cdot 2401 - 120 {(7)}^{3} + 900 {(7)}^{2} - 2000 \cdot 7$

Этап 7.2.1.2

Умножим $5$ на $2401$ .

$f' (7) = 12005 - 120 {(7)}^{3} + 900 {(7)}^{2} - 2000 \cdot 7$

Этап 7.2.1.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f' (7) = 12005 - 120 \cdot 343 + 900 {(7)}^{2} - 2000 \cdot 7$

Этап 7.2.1.4

Умножим $- 120$ на $343$ .

$f' (7) = 12005 - 41160 + 900 {(7)}^{2} - 2000 \cdot 7$

Этап 7.2.1.5

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f' (7) = 12005 - 41160 + 900 \cdot 49 - 2000 \cdot 7$

Этап 7.2.1.6

Умножим $900$ на $49$ .

$f' (7) = 12005 - 41160 + 44100 - 2000 \cdot 7$

Этап 7.2.1.7

Умножим $- 2000$ на $7$ .

$f' (7) = 12005 - 41160 + 44100 - 14000$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $41160$ из $12005$ .

$f' (7) = - 29155 + 44100 - 14000$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 29155$ и $44100$ .

$f' (7) = 14945 - 14000$

Этап 7.2.2.3

Вычтем $14000$ из $14945$ .

$f' (7) = 945$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $945$ .

$945$

Этап 7.3

При $x = 7$ производная имеет вид $945$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(4, 10)$ .

Возрастание в области $(4, 10)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(10, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $11$ .

$f' (11) = 5 {(11)}^{4} - 120 {(11)}^{3} + 900 {(11)}^{2} - 2000 \cdot 11$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $11$ в степень $4$ .

$f' (11) = 5 \cdot 14641 - 120 {(11)}^{3} + 900 {(11)}^{2} - 2000 \cdot 11$

Этап 8.2.1.2

Умножим $5$ на $14641$ .

$f' (11) = 73205 - 120 {(11)}^{3} + 900 {(11)}^{2} - 2000 \cdot 11$

Этап 8.2.1.3

Возведем $11$ в степень $3$ .

$f' (11) = 73205 - 120 \cdot 1331 + 900 {(11)}^{2} - 2000 \cdot 11$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 120$ на $1331$ .

$f' (11) = 73205 - 159720 + 900 {(11)}^{2} - 2000 \cdot 11$

Этап 8.2.1.5

Возведем $11$ в степень $2$ .

$f' (11) = 73205 - 159720 + 900 \cdot 121 - 2000 \cdot 11$

Этап 8.2.1.6

Умножим $900$ на $121$ .

$f' (11) = 73205 - 159720 + 108900 - 2000 \cdot 11$

Этап 8.2.1.7

Умножим $- 2000$ на $11$ .

$f' (11) = 73205 - 159720 + 108900 - 22000$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $159720$ из $73205$ .

$f' (11) = - 86515 + 108900 - 22000$

Этап 8.2.2.2

Добавим $- 86515$ и $108900$ .

$f' (11) = 22385 - 22000$

Этап 8.2.2.3

Вычтем $22000$ из $22385$ .

$f' (11) = 385$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $385$ .

$385$

Этап 8.3

При $x = 11$ производная имеет вид $385$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(10, \infty)$ .

Возрастание в области $(10, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0), (4, 10), (10, \infty)$

Убывание на: $(0, 4)$

Этап 10