Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \cos (x) - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 2.4.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 2.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 2.4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 2.4.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.4.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Приравняем $- \cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $- \cos (x) - 1$ к $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $- \cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- \cos (x) = 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- \cos (x) = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\cos (x) = - 1$

Этап 2.5.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 2.5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 2.5.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 2.5.2.6

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 2.5.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.5.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $π n$ .

$π n$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ в интервале $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, π n)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π n - 1$ .

$f' (π n - 1) = - 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Этап 5.2

Окончательный ответ: $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ .

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Этап 5.3

Упростим.

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Этап 5.4

При $x = π n - 1$ производная имеет вид $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, π n)$ .

Убывание на $(- \infty, π n)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(π n, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π n + 1$ .

$f' (π n + 1) = - 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ .

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Этап 6.3

Упростим.

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Этап 6.4

При $x = π n + 1$ производная имеет вид $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(π n, \infty)$ .

Убывание на $(π n, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

Этап 8