Математический анализ Примеры

$f (x) = 0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $0.7$ является константой относительно $x$ , производная $0.7 x^{3}$ по $x$ равна $0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0.7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $0.7$ .

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = {1.7}^{x}$ и $g (x) = - 1.8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 1.8 x$ .

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d u} [{1.7}^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Этап 1.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $1.7$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{u} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 1.8 x$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $- 1.8$ является константой относительно $x$ , производная $- 1.8 x$ по $x$ равна $- 1.8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $- 1.8$ на $1$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \cdot - 1.8$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 1.8$ на $\ln (1.7)$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \cdot - 0.95513085$

Этап 1.1.3.6

Перенесем $- 0.95513085$ влево от ${1.7}^{- 1.8 x}$ .

$f' (x) = 2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$ .

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$

Этап 2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$ .

$- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 3.36689747) \cup (- 3.36689747, - 1.19117954) \cup (- 1.19117954, 0.52487955) \cup (0.52487955, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3.36689747)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4.3668976$ .

$f' (- 4.3668976) = 2.1 {(- 4.3668976)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 4.3668976$ в степень $2$ .

$f' (- 4.3668976) = 2.1 \cdot 19.06979464 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $2.1$ на $19.06979464$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 1.8$ на $- 4.3668976$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{7.86041568}$

Этап 5.2.1.4

Возведем $1.7$ в степень $7.86041568$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot 64.77751969$

Этап 5.2.1.5

Умножим $- 0.95513085$ на $64.77751969$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 61.87100757$

Этап 5.2.2

Вычтем $61.87100757$ из $40.04656876$ .

$f' (- 4.3668976) = - 21.8244388$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 21.8244388$ .

$- 21.8244388$

Этап 5.3

При $x = - 4.3668976$ производная имеет вид $- 21.8244388$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 3.36689747)$ .

Убывание на $(- \infty, - 3.36689747)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.27903855$ .

$f' (- 2.27903855) = 2.1 {(- 2.27903855)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 2.27903855$ в степень $2$ .

$f' (- 2.27903855) = 2.1 \cdot 5.19401671 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $2.1$ на $5.19401671$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 1.8$ на $- 2.27903855$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{4.10226939}$

Этап 6.2.1.4

Возведем $1.7$ в степень $4.10226939$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot 8.81786724$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 0.95513085$ на $8.81786724$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 8.42221705$

Этап 6.2.2

Вычтем $8.42221705$ из $10.90743509$ .

$f' (- 2.27903855) = 2.48521804$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $2.48521804$ .

$2.48521804$

Этап 6.3

При $x = - 2.27903855$ производная имеет вид $2.48521804$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ .

Возрастание в области $(- 3.36689747, - 1.19117954)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1.1911795, 0.52487955)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.33314995$ .

$f' (- 0.33314995) = 2.1 {(- 0.33314995)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 0.33314995$ в степень $2$ .

$f' (- 0.33314995) = 2.1 \cdot 0.11098888 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $2.1$ на $0.11098888$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 1.8$ на $- 0.33314995$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{0.59966991}$

Этап 7.2.1.4

Возведем $1.7$ в степень $0.59966991$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot 1.37465363$

Этап 7.2.1.5

Умножим $- 0.95513085$ на $1.37465363$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 1.31297409$

Этап 7.2.2

Вычтем $1.31297409$ из $0.23307666$ .

$f' (- 0.33314995) = - 1.07989742$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 1.07989742$ .

$- 1.07989742$

Этап 7.3

При $x = - 0.33314995$ производная имеет вид $- 1.07989742$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1.1911795, 0.52487955)$ .

Убывание на $(- 1.19117954, 0.52487955)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0.52487955, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.5248796$ .

$f' (1.5248796) = 2.1 {(1.5248796)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $1.5248796$ в степень $2$ .

$f' (1.5248796) = 2.1 \cdot 2.32525779 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $2.1$ на $2.32525779$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 1.8$ на $1.5248796$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 2.74478328}$

Этап 8.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{{1.7}^{2.74478328}}$

Этап 8.2.1.5

Возведем $1.7$ в степень $2.74478328$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{4.29074145}$

Этап 8.2.1.6

Разделим $1$ на $4.29074145$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot 0.23305995$

Этап 8.2.1.7

Умножим $- 0.95513085$ на $0.23305995$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.22260275$

Этап 8.2.2

Вычтем $0.22260275$ из $4.88304136$ .

$f' (1.5248796) = 4.66043861$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $4.66043861$ .

$4.66043861$

Этап 8.3

При $x = 1.5248796$ производная имеет вид $4.66043861$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0.52487955, \infty)$ .

Возрастание в области $(0.52487955, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 3.36689747, - 1.19117954), (0.52487955, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 3.36689747), (- 1.19117954, 0.52487955)$

Этап 10