Математический анализ Примеры

$f (x) = 10 - \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $10 - \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$

Этап 1.1.1.2

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$ .

$0 - 20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$

Этап 1.1.2.2

Перепишем $\frac{1}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ в виде ${(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 1}$ .

$0 - 20 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 1}]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 4 x^{2} - 52 x + 179$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x^{2} - 52 x + 179$ .

$0 - 20 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 52 x + 179])$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 - 20 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 52 x + 179])$

Этап 1.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{2} - 52 x + 179$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 52 x + 179])$

Этап 1.1.2.4

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 52 x + 179$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Этап 1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Этап 1.1.2.7

Поскольку $- 52$ является константой относительно $x$ , производная $- 52 x$ по $x$ равна $- 52 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) - 52 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Этап 1.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) - 52 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [179]))$

Этап 1.1.2.9

Поскольку $179$ является константой относительно $x$ , производная $179$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) - 52 \cdot 1 + 0))$

Этап 1.1.2.10

Умножим $2$ на $4$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52 \cdot 1 + 0))$

Этап 1.1.2.11

Умножим $- 52$ на $1$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52 + 0))$

Этап 1.1.2.12

Добавим $8 x - 52$ и $0$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52))$

Этап 1.1.2.13

Умножим $- 1$ на $- 20$ .

$0 + 20 {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52)$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 20 \frac{1}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$

Этап 1.1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Объединим $20$ и $\frac{1}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ .

$0 + \frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$

Этап 1.1.3.2.2

Добавим $0$ и $\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$ .

$\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$

Этап 1.1.3.3

Изменим порядок множителей в $\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$ .

$(8 x - 52) \frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Умножим $8 x - 52$ на $\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ .

$\frac{(8 x - 52) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x - 52$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$\frac{(4 (2 x) - 52) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 52$ .

$\frac{(4 (2 x) + 4 (- 13)) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x) + 4 (- 13)$ .

$\frac{4 (2 x - 13) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.2

Умножим $20$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ .

$\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$80 (2 x - 13) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $80 (2 x - 13) = 0$ на $80$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $80 (2 x - 13) = 0$ на $80$ .

$\frac{80 (2 x - 13)}{80} = \frac{0}{80}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{80 (2 x - 13)}{80} = \frac{0}{80}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $2 x - 13$ на $1$ .

$2 x - 13 = \frac{0}{80}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $80$ .

$2 x - 13 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $13$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 13$

Этап 2.3.3

Разделим каждый член $2 x = 13$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим каждый член $2 x = 13$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{13}{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{13}{2}$

Этап 2.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{13}{2}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{13}{2}$ .

$\frac{13}{2}$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 10 - \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ в интервале $(- \infty, \frac{13}{2}) \cup (\frac{13}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{13}{2}) \cup (\frac{13}{2}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{13}{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{11}{2}$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{11}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{11}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 (11 - 13)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $13$ из $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{11}{2}$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Возведем $11$ в степень $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{121}{2^{2}}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{121}{4}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 5.2.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{121}{4}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 5.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 52$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 + 2 (- 26) (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 + 2 \cdot (- 26 (\frac{11}{2})) + 179)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 - 26 \cdot 11 + 179)}^{2}}$

Этап 5.2.2.6

Умножим $- 26$ на $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 - 286 + 179)}^{2}}$

Этап 5.2.2.7

Вычтем $286$ из $121$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(- 165 + 179)}^{2}}$

Этап 5.2.2.8

Добавим $- 165$ и $179$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{14^{2}}$

Этап 5.2.2.9

Возведем $14$ в степень $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{196}$

Этап 5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $80$ на $- 2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{- 160}{196}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $- 160$ и $196$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 160$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{4 (- 40)}{196}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $196$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{4 \cdot - 40}{4 \cdot 49}$

Этап 5.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{4 \cdot - 40}{4 \cdot 49}$

Этап 5.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{- 40}{49}$

Этап 5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{40}{49}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{40}{49}$ .

$- \frac{40}{49}$

Этап 5.3

При $x = \frac{11}{2}$ производная имеет вид $- \frac{40}{49}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{13}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{13}{2})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\frac{13}{2}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{15}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{15}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 (15 - 13)}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $13$ из $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{15^{2}}{2^{2}}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Возведем $15$ в степень $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{225}{2^{2}}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{225}{4}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{225}{4}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 52$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 + 2 (- 26) (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 + 2 \cdot (- 26 (\frac{15}{2})) + 179)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 - 26 \cdot 15 + 179)}^{2}}$

Этап 6.2.2.6

Умножим $- 26$ на $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 - 390 + 179)}^{2}}$

Этап 6.2.2.7

Вычтем $390$ из $225$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(- 165 + 179)}^{2}}$

Этап 6.2.2.8

Добавим $- 165$ и $179$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{14^{2}}$

Этап 6.2.2.9

Возведем $14$ в степень $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{196}$

Этап 6.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $80$ на $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{160}{196}$

Этап 6.2.3.2

Сократим общий множитель $160$ и $196$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $160$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{4 (40)}{196}$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $196$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{4 \cdot 40}{4 \cdot 49}$

Этап 6.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{4 \cdot 40}{4 \cdot 49}$

Этап 6.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{40}{49}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{40}{49}$ .

$\frac{40}{49}$

Этап 6.3

При $x = \frac{15}{2}$ производная имеет вид $\frac{40}{49}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{13}{2}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{13}{2}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(\frac{13}{2}, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, \frac{13}{2})$

Этап 8