Математический анализ Примеры

$k (t) = \frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = 3 t^{2} + 27$ .

$4 \frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Умножим $3 t^{2} + 27$ на $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

По правилу суммы производная $3 t^{2} + 27$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t^{2}$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Умножим $2$ на $3$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.3.7

Поскольку $27$ является константой относительно $t$ , производная $27$ относительно $t$ равна $0$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.8.1

Добавим $6 t$ и $0$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.3.8.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $t$ в степень $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Возведем $t$ в степень $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.8

Вычтем $6 t^{2}$ из $3 t^{2}$ .

$4 \frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.9

Объединим $4$ и $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.2.1

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.10.2.2

Умножим $4$ на $27$ .

$\frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.3.1

Вынесем множитель $12$ из $- 12 t^{2} + 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.3.1.1

Вынесем множитель $12$ из $- 12 t^{2}$ .

$\frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.10.3.1.2

Вынесем множитель $12$ из $108$ .

$\frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.10.3.1.3

Вынесем множитель $12$ из $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ .

$\frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.10.3.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.10.3.3

Изменим порядок $- t^{2}$ и $3^{2}$ .

$\frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.10.3.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = t$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.10.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 t^{2} + 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 t^{2}$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

Этап 1.1.10.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Этап 1.1.10.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

Этап 1.1.10.4.2

Применим правило умножения к $3 (t^{2} + 9)$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.10.4.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.10.5

Сократим общий множитель $12$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.5.1

Вынесем множитель $3$ из $12 (3 + t) (3 - t)$ .

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.10.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Этап 1.1.10.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Этап 1.1.10.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $k (t)$ по $t$ равна $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $3 + t$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $3 + t$ к $0$ .

$3 + t = 0$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$t = - 3$

Этап 2.3.3

Приравняем $3 - t$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $3 - t$ к $0$ .

$3 - t = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $3 - t = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- t = - 3$

Этап 2.3.3.2.2

Разделим каждый член $- t = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $- t = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$t = 3$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ верно.

$t = - 3, 3$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- 3, 3$ .

$- 3, 3$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $t$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- 4$ .

$k' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 - (- 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Избавимся от скобок.

$k' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 - (- 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$k' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 + 4)}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$k' (- 4) = \frac{4 \cdot (- 1 (3 + 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 5.2.2.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$k' (- 4) = \frac{- (4 (3 + 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 5.2.2.3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$k' (- 4) = \frac{- 4 (3 + 4)}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 5.2.2.4

Добавим $3$ и $4$ .

$k' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$k' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 {(16 + 9)}^{2}}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $16$ и $9$ .

$k' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 \cdot 25^{2}}$

Этап 5.2.3.3

Возведем $25$ в степень $2$ .

$k' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 \cdot 625}$

Этап 5.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $- 4$ на $7$ .

$k' (- 4) = \frac{- 28}{3 \cdot 625}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $3$ на $625$ .

$k' (- 4) = \frac{- 28}{1875}$

Этап 5.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$k' (- 4) = - \frac{28}{1875}$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{28}{1875}$ .

$- \frac{28}{1875}$

Этап 5.3

При $t = - 4$ производная имеет вид $- \frac{28}{1875}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 3)$ .

Убывание на $(- \infty, - 3)$ , так как $k' (t) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 3, 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $0$ .

$k' (0) = \frac{4 (3 + 0) (3 - (0))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Избавимся от скобок.

$k' (0) = \frac{4 (3 + 0) (3 - (0))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Сократим общий множитель $3 + 0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $4 (3 + 0) (3 - (0))$ .

$k' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}$ .

$k' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 ({({(0)}^{2} + 9)}^{2})}$

Этап 6.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$k' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$k' (0) = \frac{4 (1 + 0) (3 - (0))}{{({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$k' (0) = \frac{4 (1 + 0) (3 + 0)}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$k' (0) = \frac{4 \cdot (1 (3 + 0))}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$k' (0) = \frac{4 (3 + 0)}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Добавим $3$ и $0$ .

$k' (0) = \frac{4 \cdot 3}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 6.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$k' (0) = \frac{4 \cdot 3}{{(0 + 9)}^{2}}$

Этап 6.2.3.2

Добавим $0$ и $9$ .

$k' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9^{2}}$

Этап 6.2.3.3

Возведем $9$ в степень $2$ .

$k' (0) = \frac{4 \cdot 3}{81}$

Этап 6.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $4$ на $3$ .

$k' (0) = \frac{12}{81}$

Этап 6.2.4.2

Сократим общий множитель $12$ и $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$k' (0) = \frac{3 (4)}{81}$

Этап 6.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$k' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Этап 6.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$k' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Этап 6.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$k' (0) = \frac{4}{27}$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ: $\frac{4}{27}$ .

$\frac{4}{27}$

Этап 6.3

При $t = 0$ производная имеет вид $\frac{4}{27}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 3, 3)$ .

Возрастание в области $(- 3, 3)$ , так как $k' (t) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $4$ .

$k' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - (4))}{3 {({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Избавимся от скобок.

$k' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - (4))}{3 {({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$k' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - 4)}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $3$ и $4$ .

$k' (4) = \frac{4 \cdot (7 (3 - 4))}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Умножим $4$ на $7$ .

$k' (4) = \frac{28 (3 - 4)}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Вычтем $4$ из $3$ .

$k' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 7.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$k' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 {(16 + 9)}^{2}}$

Этап 7.2.3.2

Добавим $16$ и $9$ .

$k' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 \cdot 25^{2}}$

Этап 7.2.3.3

Возведем $25$ в степень $2$ .

$k' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 \cdot 625}$

Этап 7.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $28$ на $- 1$ .

$k' (4) = \frac{- 28}{3 \cdot 625}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $3$ на $625$ .

$k' (4) = \frac{- 28}{1875}$

Этап 7.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$k' (4) = - \frac{28}{1875}$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{28}{1875}$ .

$- \frac{28}{1875}$

Этап 7.3

При $t = 4$ производная имеет вид $- \frac{28}{1875}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(3, \infty)$ .

Убывание на $(3, \infty)$ , так как $k' (t) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 3, 3)$

Убывание на: $(- \infty, - 3), (3, \infty)$

Этап 9